Номер 23.33, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.33, страница 230.

Условие.

23.33. Упростите выражение $b^{12,7} - b^{12,6} + b^{12,5} - b^{12,4} + \ldots + b^{3,3}$.

Решение.

Данное выражение представляет собой сумму членов конечной геометрической прогрессии.

Обозначим сумму как $S$. Первый член этой прогрессии $a_1 = b^{12,7}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{-b^{12,6}}{b^{12,7}} = -b^{12,6 - 12,7} = -b^{-0,1}$

Теперь найдем количество членов в прогрессии, $n$. Показатели степеней $12,7; 12,6; 12,5; \dots; 3,3$ образуют арифметическую прогрессию. Пусть первый член этой арифметической прогрессии $p_1 = 12,7$, последний $p_n = 3,3$, а разность $d = 12,6 - 12,7 = -0,1$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $p_n = p_1 + (n-1)d$:

$3,3 = 12,7 + (n-1)(-0,1)$

$3,3 - 12,7 = -0,1(n-1)$

$-9,4 = -0,1(n-1)$

$n-1 = \frac{-9,4}{-0,1} = 94$

$n = 95$

Таким образом, в выражении 95 членов. Теперь применим формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$

Подставим наши значения $a_1 = b^{12,7}$, $q = -b^{-0,1}$ и $n=95$:

$S = b^{12,7} \frac{1 - (-b^{-0,1})^{95}}{1 - (-b^{-0,1})}$

Поскольку 95 - нечетное число, то $(-1)^{95} = -1$. Упростим выражение:

$S = b^{12,7} \frac{1 - (-1 \cdot b^{-0,1 \cdot 95})}{1 + b^{-0,1}} = b^{12,7} \frac{1 - (-b^{-9,5})}{1 + b^{-0,1}} = b^{12,7} \frac{1 + b^{-9,5}}{1 + b^{-0,1}}$

Раскроем скобки в числителе, умножив $b^{12,7}$ на $(1 + b^{-9,5})$:

$S = \frac{b^{12,7} \cdot 1 + b^{12,7} \cdot b^{-9,5}}{1 + b^{-0,1}} = \frac{b^{12,7} + b^{12,7 - 9,5}}{1 + b^{-0,1}} = \frac{b^{12,7} + b^{3,2}}{1 + b^{-0,1}}$

Чтобы избавиться от отрицательной степени в знаменателе, можно умножить числитель и знаменатель на $b^{0,1}$:

$S = \frac{b^{12,7} + b^{3,2}}{1 + b^{-0,1}} \cdot \frac{b^{0,1}}{b^{0,1}} = \frac{(b^{12,7} + b^{3,2})b^{0,1}}{(1 + b^{-0,1})b^{0,1}} = \frac{b^{12,7+0,1} + b^{3,2+0,1}}{b^{0,1} + b^{-0,1+0,1}} = \frac{b^{12,8} + b^{3,3}}{b^{0,1} + 1}$

Ответ: $\frac{b^{12,8} + b^{3,3}}{b^{0,1} + 1}$