Вопросы?, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - страница 237.

Условие.

1. Что образуют объекты, которые пронумерованы подряд натуральными числами?

2. Как называют объекты, образующие последовательность?

3. Как называют член последовательности, имеющий номер $n$?

4. Какую последовательность называют числовой?

5. В каком случае последовательность считают заданной?

6. Перечислите способы задания последовательности.

7. Поясните, что такое формула $n$-го члена последовательности.

8. Какова связь между понятиями «функция» и «последовательность»?

9. Поясните, что такое рекуррентная формула.

Решение.

1. Что образуют объекты, которые пронумерованы подряд натуральными числами?

Объекты, которые расположены в определенном порядке и каждому из которых присвоен уникальный номер из множества натуральных чисел (1, 2, 3, ...), образуют последовательность. Таким образом, каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие некоторый объект.

Ответ: Последовательность.

2. Как называют объекты, образующие последовательность?

Объекты, из которых состоит последовательность, принято называть членами последовательности. Первый объект — это первый член, второй — второй член, и так далее.

Ответ: Члены последовательности.

3. Как называют член последовательности, имеющий номер n?

Член последовательности, который соответствует натуральному числу $n$, то есть стоит на $n$-ом месте, называют $n$-ым (энным) членом последовательности. Обычно его обозначают буквой с нижним индексом, например, $a_n$, $b_n$ или $x_n$.

Ответ: $n$-ый член последовательности.

4. Какую последовательность называют числовой?

Если все члены последовательности являются числами, то такая последовательность называется числовой. Например, последовательность $2, 4, 6, 8, ...$ является числовой.

Ответ: Числовой называют последовательность, все члены которой являются числами.

5. В каком случае последовательность считают заданной?

Последовательность считается заданной, если указано правило или закон, по которому можно однозначно определить любой ее член по его порядковому номеру. Это правило должно работать для любого натурального $n$.

Ответ: Последовательность считают заданной, если указан способ, позволяющий найти любой ее член по его номеру.

6. Перечислите способы задания последовательности.

Существует несколько основных способов задания последовательности:

• Аналитический способ — с помощью формулы $n$-го члена, которая выражает зависимость члена последовательности от его номера (например, $a_n = n^2$).
• Рекуррентный способ — с помощью формулы, выражающей любой член последовательности через предыдущие члены (например, $a_{n+1} = a_n + 5$), при этом необходимо задать один или несколько первых членов (например, $a_1=2$).
• Словесный способ — когда правило задания последовательности описывается словами (например, «последовательность всех простых чисел в порядке возрастания»).

Ответ: Основные способы задания последовательности: аналитический (формулой $n$-го члена), рекуррентный и словесный.

7. Поясните, что такое формула n-го члена последовательности.

Формула $n$-го члена последовательности — это аналитическое выражение, которое позволяет вычислить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер $n$. Например, если последовательность задана формулой $a_n = 2n - 1$, то можно легко найти любой ее член: первый $a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$, пятый $a_5 = 2 \cdot 5 - 1 = 9$, сотый $a_{100} = 2 \cdot 100 - 1 = 199$.

Ответ: Это формула, которая позволяет найти любой член последовательности по его номеру $n$.

8. Какова связь между понятиями «функция» и «последовательность»?

Числовую последовательность можно рассматривать как частный случай функции. Это функция $y=f(x)$, областью определения которой является множество всех натуральных чисел ($x \in N$). Аргументом такой функции является номер члена последовательности $n$, а значением функции — сам член последовательности $a_n$. Таким образом, запись $a_n$ — это то же самое, что и $f(n)$.

Ответ: Последовательность — это функция, определенная на множестве натуральных чисел.

9. Поясните, что такое рекуррентная формула.

Рекуррентная формула (от латинского recurrere — возвращаться) — это формула, которая задает член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Чтобы полностью задать последовательность таким способом, необходимо также указать начальные условия — один или несколько первых членов. Классический пример — последовательность Фибоначчи, где $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ при начальных условиях $F_1=1, F_2=1$.

Ответ: Это формула, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через один или несколько предыдущих ее членов.