Номер 24.7, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.7, страница 237.

Условие.

24.7. Последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = n^2 - 3n - 8$.

Найдите номера членов этой последовательности, которые меньше 10.

Решение.

По условию, последовательность $(a_n)$ задана формулой $a_n = n^2 - 3n - 8$. Нам нужно найти номера членов $n$, для которых выполняется условие $a_n < 10$.

Составим и решим неравенство:

$n^2 - 3n - 8 < 10$

Перенесем 10 в левую часть неравенства, чтобы получить квадратичное неравенство:

$n^2 - 3n - 8 - 10 < 0$

$n^2 - 3n - 18 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 3n - 18 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$n_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Графиком функции $y = n^2 - 3n - 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля на интервале между корнями. Таким образом, решением неравенства является интервал $n \in (-3; 6)$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), нам нужно выбрать все натуральные числа, принадлежащие интервалу $(-3; 6)$.

Такими числами являются 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.