Номер 24.14, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.14, страница 238.

Условие.

24.14. Существуют ли такие значения a, при которых последовательность является стационарной:

1) $x_1 = a, x_{n+1} = x_n^2 - 4x_n + 6;$

2) $x_1 = a, x_{n+1} = x_n^2 - 3x_n + 5?$

Решение.

Последовательность является стационарной, если все её члены равны между собой, то есть $x_1 = x_2 = x_3 = \dots$. Для последовательности, заданной рекуррентной формулой $x_{n+1} = f(x_n)$ и начальным условием $x_1 = a$, это означает, что $x_{n+1} = x_n$ для всех натуральных $n$. В частности, должно выполняться равенство $x_2 = x_1$.

Поскольку $x_1 = a$ и $x_2 = f(x_1) = f(a)$, то условие стационарности сводится к решению уравнения $a = f(a)$. Если у этого уравнения есть действительные решения, то при выборе одного из них в качестве начального значения $a$, все члены последовательности будут равны этому значению.

1) $x_1 = a, x_{n+1} = x_n^2 - 4x_n + 6$

Для того чтобы последовательность была стационарной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $x_{n+1} = x_n$. Подставим $x_n = a$ в это равенство, используя заданную формулу:

$a = a^2 - 4a + 6$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$a^2 - 5a + 6 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда корни $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$.

Либо можно вычислить дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

$a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}$

$a_1 = \frac{5-1}{2} = 2$, $a_2 = \frac{5+1}{2} = 3$.

Так как уравнение имеет действительные корни, то существуют значения $a$, при которых данная последовательность является стационарной.

Ответ: да, существуют, при $a=2$ или $a=3$.

2) $x_1 = a, x_{n+1} = x_n^2 - 3x_n + 5$

Аналогично предыдущему пункту, составим и решим уравнение для $a$:

$a = a^2 - 3a + 5$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$a^2 - 4a + 5 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует таких действительных значений $a$, при которых последовательность была бы стационарной.

Ответ: нет, не существуют.