Номер 24.18, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.18, страница 238.

Условие.

24.18. Последовательность задана рекуррентно: $a_1 = 5, a_{n+1} = 4a_n - 3$. Докажите, что все члены этой последовательности с нечётными номерами делятся нацело на 5.

Решение.

Для доказательства того, что все члены последовательности с нечётными номерами делятся нацело на 5, воспользуемся методом математической индукции. Утверждение, которое мы будем доказывать, заключается в том, что член последовательности $a_n$ делится на 5 для любого нечетного $n$. Любое нечетное натуральное число можно представить в виде $n = 2k - 1$, где $k$ — натуральное число. Таким образом, мы докажем, что $a_{2k-1}$ делится на 5 для всех $k \ge 1$.

База индукции: Проверим утверждение для наименьшего возможного значения $k=1$.
При $k=1$ мы рассматриваем член последовательности $a_{2 \cdot 1 - 1} = a_1$.
Согласно условию задачи, $a_1 = 5$.
Число 5 делится на 5, следовательно, база индукции верна.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$. То есть, предположим, что $a_{2k-1}$ делится на 5.
Теперь нам нужно доказать, что из этого предположения следует, что утверждение верно и для следующего нечетного номера, то есть для $k+1$. Мы должны показать, что $a_{2(k+1)-1} = a_{2k+1}$ также делится на 5.

Для этого выразим $a_{2k+1}$ через $a_{2k-1}$, используя данное рекуррентное соотношение $a_{n+1} = 4a_n - 3$ два раза.
Сначала найдем $a_{2k}$:
$a_{2k} = 4a_{2k-1} - 3$.
Теперь найдем $a_{2k+1}$:
$a_{2k+1} = 4a_{2k} - 3$.
Подставим выражение для $a_{2k}$ в формулу для $a_{2k+1}$:
$a_{2k+1} = 4(4a_{2k-1} - 3) - 3 = 16a_{2k-1} - 12 - 3 = 16a_{2k-1} - 15$.

По нашему индуктивному предположению, $a_{2k-1}$ делится на 5. Это означает, что произведение $16a_{2k-1}$ также делится на 5. Число 15 очевидно делится на 5. Разность двух чисел, каждое из которых делится на 5, также делится на 5. Следовательно, $a_{2k+1} = 16a_{2k-1} - 15$ делится на 5.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для $k$, то оно верно и для $k+1$. Шаг индукции доказан.

Поскольку база индукции верна и шаг индукции доказан, по принципу математической индукции мы заключаем, что $a_{2k-1}$ делится на 5 для любого натурального $k$. Это означает, что все члены данной последовательности с нечётными номерами делятся нацело на 5.

Ответ: Утверждение доказано.