Номер 24.19, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.19, страница 239.

Условие.

24.19. Последовательность задана рекуррентно: $a_1 = 8, a_{n+1} = 7a_n - 6$. Докажите, что все члены этой последовательности при делении на 3 дают в остатке 2.

Решение.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Нам нужно доказать, что для любого натурального числа $n$ член последовательности $a_n$ при делении на 3 даёт в остатке 2. Это можно записать в виде сравнения: $a_n \equiv 2 \pmod{3}$.

1. База индукции (при n=1)

Проверим, выполняется ли утверждение для первого члена последовательности $a_1$.

Согласно условию, $a_1 = 8$.

Найдём остаток от деления 8 на 3: $8 = 3 \cdot 2 + 2$.

Остаток равен 2, следовательно, $a_1 \equiv 2 \pmod{3}$.

База индукции верна.

2. Шаг индукции

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, предположим, что $a_k$ при делении на 3 даёт в остатке 2. Это наше индукционное предположение:

$a_k \equiv 2 \pmod{3}$

Теперь докажем, что из этого предположения следует, что утверждение верно и для следующего члена последовательности, $a_{k+1}$. То есть, нам нужно доказать, что $a_{k+1} \equiv 2 \pmod{3}$.

Воспользуемся рекуррентной формулой, данной в условии: $a_{k+1} = 7a_k - 6$.

Рассмотрим это равенство по модулю 3:

$a_{k+1} \equiv (7a_k - 6) \pmod{3}$

Найдём остатки от деления коэффициентов на 3:

$7 \equiv 1 \pmod{3}$ (поскольку $7 = 2 \cdot 3 + 1$)

$6 \equiv 0 \pmod{3}$ (поскольку $6 = 2 \cdot 3 + 0$)

Подставим эти значения в наше сравнение:

$a_{k+1} \equiv (1 \cdot a_k - 0) \pmod{3}$

$a_{k+1} \equiv a_k \pmod{3}$

Из нашего индукционного предположения мы знаем, что $a_k \equiv 2 \pmod{3}$. Следовательно:

$a_{k+1} \equiv 2 \pmod{3}$

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$. Шаг индукции доказан.

Поскольку база индукции верна и шаг индукции доказан, по принципу математической индукции мы можем заключить, что утверждение верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Доказано, что все члены этой последовательности при делении на 3 дают в остатке 2.