Номер 24.26, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.26, страница 239.

Условие.

24.26. Найдите все значения параметра $a$, при которых множество решений системы неравенств $ \begin{cases} x^2 - x - 6 < 0, \\ x > a \end{cases} $, содержит ровно три целых числа.

Решение.

Решим первое неравенство системы: $x^2 - x - 6 < 0$.

Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6$, приравняв его к нулю: $x^2 - x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = -2$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-2, 3)$.

Найдем все целые числа, принадлежащие этому интервалу: -1, 0, 1, 2.

Теперь рассмотрим всю систему неравенств: $$ \begin{cases} -2 < x < 3, \\ x > a \end{cases} $$

Решением этой системы является пересечение двух интервалов: $x \in (\max(a, -2), 3)$.

По условию задачи, множество решений системы должно содержать ровно три целых числа. Этими числами могут быть только числа из набора $\{-1, 0, 1, 2\}$.

Чтобы в решении осталось ровно три целых числа, это должны быть числа 0, 1, 2. Для этого необходимо, чтобы наименьшее из них, то есть 0, было решением системы, а следующее по величине целое число, не входящее в этот набор (то есть -1), решением не являлось.

Это приводит к следующим условиям для параметра $a$: 1. Число 0 должно удовлетворять неравенству $x > a$, то есть $0 > a$. 2. Число -1 не должно удовлетворять неравенству $x > a$, то есть должно выполняться $-1 \le a$.

Объединим эти два условия в систему: $$ \begin{cases} a < 0, \\ a \ge -1 \end{cases} $$

Решением этой системы является полуинтервал $[-1, 0)$.

Ответ: $a \in [-1, 0)$.