Номер 24.27, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.27, страница 239.

Условие.

24.27. Решите неравенство

$(x^2 - 9)\sqrt{x^2 - 6x + 5} \ge 0$

Решение.

Исходное неравенство: $(x^2 - 9)\sqrt{x^2 - 6x + 5} \ge 0$.

Решение данного неравенства равносильно объединению решений двух случаев:

1) Выражение под корнем равно нулю (при этом первый множитель должен быть определен, что выполняется для любого $x$).
2) Выражение под корнем строго больше нуля, и при этом первый множитель больше или равен нулю.

Рассмотрим эти случаи по отдельности.

Случай 1: Равенство нулю

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Это происходит, когда подкоренное выражение равно нулю, так как это определяет и область допустимых значений, и обращает в ноль один из множителей.

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 5$

При этих значениях $x$ исходное неравенство превращается в верное равенство $0 \ge 0$. Таким образом, $x=1$ и $x=5$ являются решениями.

Также равенство нулю возможно, если $x^2-9=0$ и при этом $\sqrt{x^2-6x+5}$ существует.$x^2-9=0 \implies x_3 = -3, x_4 = 3$. Проверим, входят ли эти корни в область допустимых значений ($x^2-6x+5 \ge 0$, т.е. $x \in (-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$). Корень $x = -3$ принадлежит интервалу $(-\infty, 1]$, значит, он является решением.Корень $x = 3$ не принадлежит области допустимых значений, т.к. $3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 < 0$. Значит, $x=3$ не является решением.

Итак, решения из первого случая: $x \in \{-3, 1, 5\}$.

Случай 2: Строгое неравенство

Рассмотрим случай, когда $(x^2 - 9)\sqrt{x^2 - 6x + 5} > 0$.

Поскольку $\sqrt{x^2 - 6x + 5}$ всегда положителен, если подкоренное выражение строго больше нуля, то неравенство сводится к системе:

$\begin{cases} x^2 - 9 > 0 \\ x^2 - 6x + 5 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $x^2 - 9 > 0 \implies (x-3)(x+3) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.

2) $x^2 - 6x + 5 > 0 \implies (x-1)(x-5) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этих двух решений. Для этого удобно использовать числовую ось.

Пересекая множество $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$ с множеством $(-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$, получаем:

$x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)$

Объединение результатов

Объединим решения, полученные в обоих случаях:

Из случая 1: $x \in \{-3, 1, 5\}$

Из случая 2: $x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)$

Объединяя эти множества, получаем: $(-\infty, -3) \cup \{-3\} \cup \{1\} \cup (5, +\infty) \cup \{5\}$.

Это можно записать в более компактном виде: $(-\infty, -3] \cup \{1\} \cup [5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup \{1\} \cup [5, +\infty)$.