Номер 25.3, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.3, страница 247.

Условие.

25.3. Найдите формулу n-го члена арифметической прогрессии:

1) -5, -7, -9, -11, ...;

2) 2, $2\frac{1}{6}$, $2\frac{1}{3}$, $2\frac{1}{2}$, ...;

3) $a^2$, $2a^2$, $3a^2$, $4a^2$, ...;

4) $a+3$, $a+1$, $a-1$, $a-3$, ...

Решение.

Для нахождения формулы n-го члена арифметической прогрессии используется формула $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

1) Дана последовательность: -5, -7, -9, -11, ...
Это арифметическая прогрессия. Найдем её первый член и разность.
Первый член $a_1 = -5$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -7 - (-5) = -7 + 5 = -2$.
Теперь подставим эти значения в формулу n-го члена:
$a_n = a_1 + (n-1)d = -5 + (n-1)(-2)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$a_n = -5 - 2n + 2$
$a_n = -2n - 3$
Ответ: $a_n = -2n - 3$.

2) Дана последовательность: 2, $2\frac{1}{6}$, $2\frac{1}{3}$, $2\frac{1}{2}$, ...
Это арифметическая прогрессия. Найдем её первый член и разность.
Первый член $a_1 = 2$.
Найдем разность прогрессии:
$d = a_2 - a_1 = 2\frac{1}{6} - 2 = \frac{1}{6}$.
Подставим значения в формулу n-го члена:
$a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)\frac{1}{6}$
Упростим выражение:
$a_n = 2 + \frac{n-1}{6} = \frac{12}{6} + \frac{n-1}{6} = \frac{12 + n - 1}{6} = \frac{n+11}{6}$
Ответ: $a_n = \frac{n+11}{6}$.

3) Дана последовательность: $a^2, 2a^2, 3a^2, 4a^2, ...$
Это арифметическая прогрессия. Обозначим её члены как $b_n$.
Первый член $b_1 = a^2$.
Разность прогрессии $d = b_2 - b_1 = 2a^2 - a^2 = a^2$.
Подставим значения в формулу n-го члена (в нашем случае $b_n$):
$b_n = b_1 + (n-1)d = a^2 + (n-1)a^2$
Упростим выражение:
$b_n = a^2 + na^2 - a^2 = na^2$
Возвращаясь к стандартному обозначению $a_n$:
Ответ: $a_n = na^2$.

4) Дана последовательность: $a+3, a+1, a-1, a-3, ...$
Это арифметическая прогрессия. Найдем её первый член и разность.
Первый член $a_1 = a+3$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = (a+1) - (a+3) = a+1-a-3 = -2$.
Подставим значения в формулу n-го члена:
$a_n = a_1 + (n-1)d = (a+3) + (n-1)(-2)$
Упростим выражение:
$a_n = a+3 - 2n + 2$
$a_n = a - 2n + 5$
Ответ: $a_n = a - 2n + 5$.