Номер 25.10, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.10, страница 248.

Условие.

25.10. Является ли последовательность $(a_n)$ арифметической прогрессией, если она задана формулой $n$-го члена:

1) $a_n = -6n + 3;$

2) $a_n = -2.8n;$

3) $a_n = 2n^2 - n?$

В случае утвердительного ответа укажите $a_1$ и разность прогрессии.

Решение.

Для того чтобы определить, является ли последовательность ($a_n$) арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между последующим и предыдущим членами ($d = a_{n+1} - a_n$) постоянной величиной, не зависящей от $n$. Если разность постоянна, то последовательность является арифметической прогрессией, и эта разность $d$ является её разностью.

1) $a_n = -6n + 3$

Найдем (n+1)-й член последовательности, подставив $(n+1)$ вместо $n$:
$a_{n+1} = -6(n+1) + 3 = -6n - 6 + 3 = -6n - 3$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (-6n - 3) - (-6n + 3) = -6n - 3 + 6n - 3 = -6$.

Поскольку разность $d = -6$ является постоянным числом и не зависит от $n$, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$:
$a_1 = -6 \cdot 1 + 3 = -3$.

Разность прогрессии $d = -6$.

Ответ: Да, является. $a_1 = -3$, разность $d = -6$.

2) $a_n = -2,8n$

Найдем (n+1)-й член последовательности:
$a_{n+1} = -2,8(n+1) = -2,8n - 2,8$.

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (-2,8n - 2,8) - (-2,8n) = -2,8n - 2,8 + 2,8n = -2,8$.

Поскольку разность $d = -2,8$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = -2,8 \cdot 1 = -2,8$.

Разность прогрессии $d = -2,8$.

Ответ: Да, является. $a_1 = -2,8$, разность $d = -2,8$.

3) $a_n = 2n^2 - n$

Найдем (n+1)-й член последовательности:
$a_{n+1} = 2(n+1)^2 - (n+1) = 2(n^2 + 2n + 1) - n - 1 = 2n^2 + 4n + 2 - n - 1 = 2n^2 + 3n + 1$.

Найдем разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = (2n^2 + 3n + 1) - (2n^2 - n) = 2n^2 + 3n + 1 - 2n^2 + n = 4n + 1$.

Разность $4n + 1$ зависит от $n$, следовательно, она не является постоянной.

Например, найдем разность для нескольких первых членов:
$a_1 = 2(1)^2 - 1 = 1$
$a_2 = 2(2)^2 - 2 = 8 - 2 = 6$
$a_3 = 2(3)^2 - 3 = 18 - 3 = 15$
$a_2 - a_1 = 6 - 1 = 5$
$a_3 - a_2 = 15 - 6 = 9$

Так как $5 \neq 9$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.