Номер 25.11, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.11, страница 248.

Условие.

25.11. Является ли последовательность $(a_n)$ арифметической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:

1) $a_n = 6 + 7n;$

2) $a_n = \frac{2n-1}{5};$

3) $a_n = \frac{1}{n} + 2?$

В случае утвердительного ответа укажите $a_1$ и разность прогрессии.

Решение.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью прогрессии ($d$).

Для того чтобы последовательность $(a_n)$ была арифметической прогрессией, необходимо, чтобы разность $a_{n+1} - a_n$ была постоянной величиной (константой), не зависящей от $n$. Проверим это условие для каждой из заданных последовательностей.

1) $a_n = 6 + 7n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$:
$a_{n+1} = 6 + 7(n+1) = 6 + 7n + 7 = 13 + 7n$.

Теперь найдем разность между соседними членами:
$a_{n+1} - a_n = (13 + 7n) - (6 + 7n) = 13 + 7n - 6 - 7n = 7$.

Разность не зависит от $n$ и равна 7. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$:
$a_1 = 6 + 7 \cdot 1 = 13$.
Разность прогрессии $d = 7$.

Ответ: Да, является. $a_1 = 13$, разность $d=7$.

2) $a_n = \frac{2n - 1}{5}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{2(n+1) - 1}{5} = \frac{2n + 2 - 1}{5} = \frac{2n + 1}{5}$.

Найдем разность между соседними членами:
$a_{n+1} - a_n = \frac{2n + 1}{5} - \frac{2n - 1}{5} = \frac{(2n + 1) - (2n - 1)}{5} = \frac{2n + 1 - 2n + 1}{5} = \frac{2}{5}$.

Разность не зависит от $n$ и равна $\frac{2}{5}$. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии $a_1$ и ее разность $d$:
$a_1 = \frac{2 \cdot 1 - 1}{5} = \frac{1}{5}$.
Разность прогрессии $d = \frac{2}{5}$.

Ответ: Да, является. $a_1 = \frac{1}{5}$, разность $d=\frac{2}{5}$.

3) $a_n = \frac{1}{n} + 2$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{1}{n+1} + 2$.

Найдем разность между соседними членами:
$a_{n+1} - a_n = (\frac{1}{n+1} + 2) - (\frac{1}{n} + 2) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n}{n(n+1)} - \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = -\frac{1}{n(n+1)}$.

Полученная разность зависит от $n$, значит, она не является постоянной. Например:
$a_1 = \frac{1}{1} + 2 = 3$.
$a_2 = \frac{1}{2} + 2 = 2.5$.
$a_3 = \frac{1}{3} + 2 \approx 2.33$.
Разность $a_2 - a_1 = 2.5 - 3 = -0.5$.
Разность $a_3 - a_2 = (\frac{1}{3} + 2) - (\frac{1}{2} + 2) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$.
Так как $-0.5 \neq -\frac{1}{6}$, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.