Номер 25.12, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.12, страница 248.

Условие.

25.12. Как изменится разность конечной арифметической прогрессии, если переставить её члены в обратном порядке?

Решение.

Пусть дана конечная арифметическая прогрессия $(a_n)$: $a_1, a_2, \dots, a_n$. Разность этой прогрессии равна $d$. По определению, для любого натурального $k$ от $1$ до $n-1$ выполняется равенство $a_{k+1} - a_k = d$.

Теперь переставим члены этой прогрессии в обратном порядке. Получим новую последовательность $(b_n)$, где $b_1 = a_n$, $b_2 = a_{n-1}$, и в общем виде $b_k = a_{n-k+1}$.

Чтобы найти разность новой последовательности, которую обозначим $d'$, нужно вычесть из любого её члена (кроме первого) предыдущий. Возьмём, к примеру, первые два члена $b_1$ и $b_2$:

$d' = b_2 - b_1$

Подставим значения из исходной прогрессии:

$d' = a_{n-1} - a_n$

Для исходной прогрессии разность $d$ можно было найти, используя те же два члена, но в другом порядке:

$d = a_n - a_{n-1}$

Сравнивая выражения для $d$ и $d'$, видим, что:

$d' = a_{n-1} - a_n = -(a_n - a_{n-1}) = -d$

Таким образом, новая последовательность также является арифметической прогрессией, разность которой равна разности исходной прогрессии, взятой с противоположным знаком.

Пример: рассмотрим прогрессию $2, 5, 8, 11$. Её разность $d = 5 - 2 = 3$.

Прогрессия, записанная в обратном порядке: $11, 8, 5, 2$.

Разность новой прогрессии $d' = 8 - 11 = -3$.

Как видим, $d' = -d$.

Ответ: Разность арифметической прогрессии изменит свой знак на противоположный.