Номер 25.8, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.8, страница 247.

Условие.

25.8. Найдите первый член арифметической прогрессии $(b_n)$, если $b_5 = 11$, $b_{11} = -7$.

Решение.

Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $(b_n)$ используется формула n-го члена: $b_n = b_1 + (n-1)d$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи известны пятый и одиннадцатый члены прогрессии:

$b_5 = 11$

$b_{11} = -7$

Подставим эти значения в формулу n-го члена, чтобы составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $d$.

Для $n=5$: $b_5 = b_1 + (5-1)d \implies 11 = b_1 + 4d$.

Для $n=11$: $b_{11} = b_1 + (11-1)d \implies -7 = b_1 + 10d$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} b_1 + 4d = 11 \\ b_1 + 10d = -7 \end{cases}$

Чтобы найти разность $d$, вычтем первое уравнение из второго:

$(b_1 + 10d) - (b_1 + 4d) = -7 - 11$

$6d = -18$

$d = \frac{-18}{6} = -3$

Теперь, зная разность прогрессии $d = -3$, мы можем найти первый член $b_1$, подставив это значение в любое из уравнений системы. Воспользуемся первым уравнением:

$b_1 + 4d = 11$

$b_1 + 4(-3) = 11$

$b_1 - 12 = 11$

$b_1 = 11 + 12$

$b_1 = 23$

Таким образом, первый член данной арифметической прогрессии равен 23.

Ответ: 23