Номер 25.14, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.14, страница 248.

Условие.

25.14. Какой номер у первого положительного члена арифметической прогрессии $-10,2; -9,5; -8,8; \dots$?

Решение.

Для того чтобы найти номер первого положительного члена арифметической прогрессии, необходимо определить её первый член $a_1$ и разность $d$.

Дана прогрессия: $-10,2; -9,5; -8,8; \dots$

Первый член прогрессии $a_1 = -10,2$.

Разность прогрессии $d$ — это разница между последующим и предыдущим членами. Найдем её:
$d = a_2 - a_1 = -9,5 - (-10,2) = -9,5 + 10,2 = 0,7$.

Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
$a_n = a_1 + (n-1)d$.

Мы ищем первый положительный член, то есть нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $a_n > 0$.

Подставим известные значения в формулу и решим неравенство:
$-10,2 + (n-1) \cdot 0,7 > 0$
$0,7(n-1) > 10,2$
$n-1 > \frac{10,2}{0,7}$
$n-1 > \frac{102}{7}$
$n > \frac{102}{7} + 1$
$n > \frac{102+7}{7}$
$n > \frac{109}{7}$

Чтобы найти $n$, разделим 109 на 7:
$109 \div 7 \approx 15,57$
Таким образом, $n > 15,57$.

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, наименьшее целое число, которое больше 15,57, это 16.

Проверим:
$a_{15} = -10,2 + (15-1) \cdot 0,7 = -10,2 + 14 \cdot 0,7 = -10,2 + 9,8 = -0,4$ (отрицательный).
$a_{16} = -10,2 + (16-1) \cdot 0,7 = -10,2 + 15 \cdot 0,7 = -10,2 + 10,5 = 0,3$ (положительный).

Следовательно, 16-й член является первым положительным членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: 16