Номер 25.21, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.21, страница 248.

Условие.

25.21. Докажите, что значения выражений $(a+b)^2$, $a^2+b^2$, $(a-b)^2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Решение.

Чтобы доказать, что три выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо показать, что разность между вторым и первым членами равна разности между третьим и вторым.

Обозначим данные выражения как $c_1 = (a+b)^2$, $c_2 = a^2+b^2$ и $c_3 = (a-b)^2$.

Найдем разность между вторым и первым членами, $c_2 - c_1$. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$c_2 - c_1 = (a^2+b^2) - (a+b)^2 = (a^2+b^2) - (a^2+2ab+b^2) = a^2+b^2-a^2-2ab-b^2 = -2ab$.

Теперь найдем разность между третьим и вторым членами, $c_3 - c_2$. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:

$c_3 - c_2 = (a-b)^2 - (a^2+b^2) = (a^2-2ab+b^2) - (a^2+b^2) = a^2-2ab+b^2-a^2-b^2 = -2ab$.

Так как разности $c_2 - c_1$ и $c_3 - c_2$ равны между собой ($c_2 - c_1 = c_3 - c_2 = -2ab$), то данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью $d=-2ab$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.