Номер 25.25, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.25, страница 249.

Условие.

25.25. Могут ли образовывать арифметическую прогрессию длины сторон и периметр треугольника?

Решение.

Для ответа на этот вопрос проанализируем свойства арифметической прогрессии и треугольника.

Пусть длины сторон треугольника равны $a$, $b$ и $c$, а его периметр равен $P$. По определению, $P = a+b+c$. По условию задачи, эти четыре числа — $a, b, c$ и $P$ — должны образовывать арифметическую прогрессию.

Так как длины сторон любого невырожденного треугольника являются положительными величинами ($a>0, b>0, c>0$), периметр $P$ всегда будет строго больше длины любой из сторон:

$P = a+b+c > a$

$P = a+b+c > b$

$P = a+b+c > c$

Следовательно, в любой арифметической прогрессии, составленной из этих четырёх чисел, периметр $P$ должен быть наибольшим членом. Пусть разность этой прогрессии равна $d$. Поскольку $P$ является наибольшим членом, прогрессия должна быть возрастающей (или, в крайнем случае, постоянной), то есть $d \ge 0$.

Расположим члены прогрессии в порядке возрастания. Пусть это будут $x_1, x_2, x_3, x_4$. Тогда стороны треугольника — это $x_1, x_2, x_3$, а периметр $P = x_4$. Выразим их через первый член $x_1$ и разность $d$:

• Первая сторона: $x_1$
• Вторая сторона: $x_1+d$
• Третья сторона: $x_1+2d$
• Периметр: $P = x_1+3d$

Для существования невырожденного треугольника необходимо, чтобы длина наименьшей стороны была положительной, то есть $x_1 > 0$. Случай $d=0$ означает, что все члены прогрессии равны: $a=b=c=P=x_1$. Но $P = a+b+c = 3x_1$. Из равенства $x_1=3x_1$ следует, что $x_1=0$. Это противоречит существованию треугольника. Следовательно, разность прогрессии должна быть строго положительной: $d > 0$.

Теперь воспользуемся определением периметра. С одной стороны, периметр равен сумме длин сторон:

$P = x_1 + (x_1+d) + (x_1+2d) = 3x_1 + 3d$

С другой стороны, из того, что эти числа образуют арифметическую прогрессию, мы получили, что периметр равен четвертому члену:

$P = x_1+3d$

Приравняем два полученных выражения для периметра:

$3x_1 + 3d = x_1 + 3d$

Вычитая $3d$ из обеих частей уравнения, получаем:

$3x_1 = x_1$

$2x_1 = 0$

$x_1 = 0$

Этот результат означает, что длина наименьшей стороны треугольника должна быть равна нулю. Но стороны невырожденного треугольника должны быть строго положительными. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Можно также рассмотреть случай вырожденного треугольника, у которого вершины лежат на одной прямой. В этом случае длины сторон могут быть равны нулю, и для них должно выполняться нестрогое неравенство треугольника (сумма двух меньших сторон больше или равна третьей). Если $x_1=0$, то длины сторон равны $0, d, 2d$ (при $d>0$). Проверим для них неравенство треугольника:

$0 + d \ge 2d$

$d \ge 2d$

Это неравенство неверно для любого $d>0$. Следовательно, даже вырожденный треугольник с такими сторонами невозможен.

Таким образом, длины сторон и периметр треугольника не могут образовывать арифметическую прогрессию.

Ответ: Нет, не могут.