Номер 25.29, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.29, страница 249.

Условие.

25.29. Если из арифметической прогрессии, разность которой не равна нулю, исключить её члены, номера которых кратны 3, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Решение.

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_n$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$, где по условию $d \neq 0$. Общий член этой прогрессии задается формулой $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из этой прогрессии исключаются члены, номера которых кратны 3, то есть члены $a_3, a_6, a_9, \ldots$.

Обозначим новую последовательность как $b_k$. Её члены будут соответствовать членам исходной прогрессии в следующем порядке: $b_1 = a_1$, $b_2 = a_2$, $b_3 = a_4$ (поскольку $a_3$ пропущен), $b_4 = a_5$, $b_5 = a_7$ (поскольку $a_6$ пропущен), и так далее.

Чтобы проверить, является ли последовательность $b_k$ арифметической прогрессией, нужно найти разность между её соседними членами и убедиться, что она постоянна.

Найдем разность между вторым и первым членами: $b_2 - b_1 = a_2 - a_1 = d$.

Теперь найдем разность между третьим и вторым членами: $b_3 - b_2 = a_4 - a_2$. Используя формулу общего члена, получаем: $a_4 = a_1 + 3d$ и $a_2 = a_1 + d$. Следовательно, разность равна $b_3 - b_2 = (a_1 + 3d) - (a_1 + d) = 2d$.

Для того чтобы последовательность $b_k$ была арифметической прогрессией, разность между её соседними членами должна быть постоянной. Это означает, что должно выполняться равенство $b_2 - b_1 = b_3 - b_2$, что приводит к уравнению:

$d = 2d$

Это равенство верно только в том случае, если $d = 0$. Однако по условию задачи разность исходной прогрессии не равна нулю ($d \neq 0$).

Поскольку разности между соседними членами новой последовательности не всегда равны друг другу (в частности, $d \neq 2d$ при $d \neq 0$), полученная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, полученная последовательность не будет арифметической прогрессией.