Номер 25.33, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.33, страница 249.

Условие.

25.33. При каком значении $y$ значения выражений $y^2 + 1$, $y^2 + y$ и $8y - 10$ являются последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение.

Пусть данные выражения $y^2 + 1$, $y^2 + y$ и $8y - 10$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Обозначим их как $a_1$, $a_2$ и $a_3$ соответственно:

$a_1 = y^2 + 1$

$a_2 = y^2 + y$

$a_3 = 8y - 10$

Для любой арифметической прогрессии выполняется характеристическое свойство: каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Это можно записать в виде формулы: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$, или, что то же самое, $2a_2 = a_1 + a_3$.

Подставим в эту формулу наши выражения и составим уравнение относительно переменной $y$:

$2(y^2 + y) = (y^2 + 1) + (8y - 10)$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$2y^2 + 2y = y^2 + 8y - 9$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные члены:

$2y^2 - y^2 + 2y - 8y + 9 = 0$

$y^2 - 6y + 9 = 0$

Получившееся квадратное уравнение является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(y - 3)^2 = 0$

Из этого следует, что $y - 3 = 0$, и единственным решением является $y = 3$.

Теперь, когда мы нашли значение $y$, найдем члены этой прогрессии. Для этого подставим $y=3$ в исходные выражения:

$a_1 = y^2 + 1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$
$a_2 = y^2 + y = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$
$a_3 = 8y - 10 = 8 \cdot 3 - 10 = 24 - 10 = 14$

Получили последовательность чисел: 10, 12, 14. Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Разность между вторым и первым членами: $d = a_2 - a_1 = 12 - 10 = 2$. Разность между третьим и вторым членами: $d = a_3 - a_2 = 14 - 12 = 2$. Разность постоянна, следовательно, это действительно арифметическая прогрессия.

Ответ: при $y = 3$ выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии: 10, 12, 14.