Номер 25.34, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.34, страница 249.

Условие.

25.34. При каком значении $y$ значения выражений $y^2 - 2y$, $3y + 5$, $4y + 13$ и $2y^2 - y + 25$ являются последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение.

Для того чтобы заданные выражения были последовательными членами арифметической прогрессии, разность между любым ее членом (начиная со второго) и предыдущим должна быть постоянной. Обозначим эту разность как $d$.

Пусть даны четыре последовательных члена арифметической прогрессии:

• $a_1 = y^2 - 2y$
• $a_2 = 3y + 5$
• $a_3 = 4y + 13$
• $a_4 = 2y^2 - y + 25$

Тогда должны выполняться следующие равенства:
$a_2 - a_1 = d$
$a_3 - a_2 = d$
$a_4 - a_3 = d$

Это означает, что $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$ и $a_3 - a_2 = a_4 - a_3$. Составим и решим систему уравнений.

1. Решим первое уравнение: $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$.
Подставим выражения для $a_1, a_2, a_3$:
$(3y + 5) - (y^2 - 2y) = (4y + 13) - (3y + 5)$
$3y + 5 - y^2 + 2y = 4y + 13 - 3y - 5$
$-y^2 + 5y + 5 = y + 8$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$0 = y^2 + y - 5y + 8 - 5$
$y^2 - 4y + 3 = 0$
Найдем корни этого уравнения по теореме Виета или через дискриминант.
Сумма корней равна 4, произведение равно 3. Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 3$.

2. Решим второе уравнение: $a_3 - a_2 = a_4 - a_3$.
Подставим выражения для $a_2, a_3, a_4$:
$(4y + 13) - (3y + 5) = (2y^2 - y + 25) - (4y + 13)$
$4y + 13 - 3y - 5 = 2y^2 - y + 25 - 4y - 13$
$y + 8 = 2y^2 - 5y + 12$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 2y^2 - 5y - y + 12 - 8$
$2y^2 - 6y + 4 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$y^2 - 3y + 2 = 0$
Найдем корни этого уравнения.
Сумма корней равна 3, произведение равно 2. Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 2$.

3. Найдем общее решение.
Значение $y$ должно удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Сравнивая найденные корни, видим, что общим решением является $y = 1$.

4. Найдем члены прогрессии.
Подставим найденное значение $y = 1$ в исходные выражения:
$a_1 = y^2 - 2y = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$
$a_2 = 3y + 5 = 3 \cdot 1 + 5 = 3 + 5 = 8$
$a_3 = 4y + 13 = 4 \cdot 1 + 13 = 4 + 13 = 17$
$a_4 = 2y^2 - y + 25 = 2 \cdot 1^2 - 1 + 25 = 2 - 1 + 25 = 26$

Проверим, действительно ли эти числа являются членами арифметической прогрессии:
$a_2 - a_1 = 8 - (-1) = 9$
$a_3 - a_2 = 17 - 8 = 9$
$a_4 - a_3 = 26 - 17 = 9$
Разность прогрессии постоянна и равна 9.

Ответ: при $y=1$ данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии: -1, 8, 17, 26.