Номер 25.35, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.35, страница 249.

Условие.

25.35. При каком значении $x$ значения выражений $3x + 4$, $2x + 3$, $x^2$ и $2x^2 + x$ являются последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение.

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии, обозначим их $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $a_4$: $a_1 = 3x + 4$ $a_2 = 2x + 3$ $a_3 = x^2$ $a_4 = 2x^2 + x$

Характеристическое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что разность между любыми двумя соседними членами постоянна. Эта разность ($d$) называется разностью прогрессии. Следовательно, должны выполняться равенства: $d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3$.

Это дает нам систему из двух уравнений: 1) $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$ 2) $a_3 - a_2 = a_4 - a_3$

Рассмотрим первое уравнение и подставим в него выражения: $(2x + 3) - (3x + 4) = x^2 - (2x + 3)$ $2x + 3 - 3x - 4 = x^2 - 2x - 3$ $-x - 1 = x^2 - 2x - 3$ Перенесем все члены в правую часть: $x^2 - 2x + x - 3 + 1 = 0$ $x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Теперь рассмотрим второе уравнение: $x^2 - (2x + 3) = (2x^2 + x) - x^2$ $x^2 - 2x - 3 = x^2 + x$ Вычтем $x^2$ из обеих частей: $-2x - 3 = x$ $3x = -3$ $x = -1$

Поскольку все четыре выражения должны быть последовательными членами одной прогрессии, найденное значение $x$ должно удовлетворять обоим уравнениям. Сравнивая решения, видим, что единственным общим корнем является $x = -1$.

Теперь найдем сами члены прогрессии, подставив значение $x = -1$ в исходные выражения: $a_1 = 3(-1) + 4 = -3 + 4 = 1$ $a_2 = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$ $a_3 = (-1)^2 = 1$ $a_4 = 2(-1)^2 + (-1) = 2(1) - 1 = 1$

Получилась арифметическая прогрессия 1, 1, 1, 1 с разностью $d = 0$.

Ответ: при $x = -1$; члены прогрессии: 1, 1, 1, 1.