Номер 25.28, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.28, страница 249.

Условие.

25.28. Даны две бесконечные арифметические прогрессии. Если из каждого члена одной прогрессии вычесть соответствующий член другой, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Решение.

Да, полученная последовательность будет арифметической прогрессией. Докажем это.

Пусть даны две бесконечные арифметические прогрессии $(a_n)$ и $(b_n)$. Формула n-го члена для первой прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d_1$, где $a_1$ — первый член, а $d_1$ — разность прогрессии. Формула n-го члена для второй прогрессии: $b_n = b_1 + (n-1)d_2$, где $b_1$ — первый член, а $d_2$ — разность прогрессии.

Создадим новую последовательность $(c_n)$, вычитая из каждого члена первой прогрессии соответствующий член второй: $c_n = a_n - b_n$

Чтобы последовательность $(c_n)$ была арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы разность между её соседними членами $c_{n+1}$ и $c_n$ была постоянной величиной (константой), не зависящей от $n$.

Найдем эту разность:
$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} - b_{n+1}) - (a_n - b_n)$
Перегруппируем слагаемые:
$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} - a_n) - (b_{n+1} - b_n)$

По определению арифметической прогрессии, разность между любым последующим и предыдущим членом есть постоянная величина, равная разности прогрессии. Таким образом:
$a_{n+1} - a_n = d_1$
$b_{n+1} - b_n = d_2$

Подставим эти значения в выражение для разности членов последовательности $(c_n)$:
$c_{n+1} - c_n = d_1 - d_2$

Поскольку $d_1$ и $d_2$ являются постоянными числами (разностями исходных прогрессий), то их разность $d_1 - d_2$ также является постоянной величиной. Следовательно, полученная последовательность $(c_n)$ является арифметической прогрессией, разность которой равна $d_1 - d_2$.

Ответ: Да, полученная последовательность будет являться арифметической прогрессией.