Номер 25.23, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.23, страница 248.

Условие.

25.23. Докажите, что для арифметической прогрессии $(a_n)$ справедливо равенство $a_n + a_k = a_{n-m} + a_{k+m}$, $n > m$.

Решение.

25.23. Чтобы доказать справедливость равенства $a_n + a_k = a_{n-m} + a_{k+m}$ для арифметической прогрессии $(a_n)$, воспользуемся формулой n-го члена. Пусть $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Тогда любой член прогрессии $a_i$ можно выразить формулой:

$a_i = a_1 + (i-1)d$

Преобразуем левую часть доказываемого равенства, подставив в неё формулу для каждого члена:

$a_n + a_k = (a_1 + (n-1)d) + (a_1 + (k-1)d)$

Сложим и упростим выражение:

$a_n + a_k = 2a_1 + (n-1+k-1)d = 2a_1 + (n+k-2)d$

Теперь преобразуем правую часть равенства, также подставив формулу для каждого члена:

$a_{n-m} + a_{k+m} = (a_1 + ((n-m)-1)d) + (a_1 + ((k+m)-1)d)$

Сложим и упростим это выражение:

$a_{n-m} + a_{k+m} = 2a_1 + (n-m-1+k+m-1)d = 2a_1 + (n+k-2)d$

Мы видим, что выражения для левой и правой частей после преобразования совпали:

$2a_1 + (n+k-2)d = 2a_1 + (n+k-2)d$

Следовательно, исходное равенство $a_n + a_k = a_{n-m} + a_{k+m}$ является верным для любой арифметической прогрессии. Условие $n > m$ обеспечивает, что если индексы являются натуральными числами, то индекс $n-m$ также будет натуральным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.