Номер 25.26, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.26, страница 249.

Условие.

25.26. Величины углов треугольника образуют арифметическую прогрессию. Какова градусная мера среднего по величине угла треугольника?

Решение.

Пусть углы треугольника, образующие арифметическую прогрессию, равны $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$. Для удобства расположим их в порядке возрастания: $\alpha_1 \le \alpha_2 \le \alpha_3$. Тогда $\alpha_2$ будет средним по величине углом.

Так как эти три угла образуют арифметическую прогрессию, их можно представить в следующем виде:

• $\alpha_1 = a - d$
• $\alpha_2 = a$
• $\alpha_3 = a + d$

где $a$ — средний член прогрессии (искомый средний угол), а $d$ — разность прогрессии ($d \ge 0$).

Известно, что сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Составим уравнение:

$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 180^\circ$

Подставим наши выражения для углов в это уравнение:

$(a - d) + a + (a + d) = 180^\circ$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a - d + a + a + d = 180^\circ$

$3a = 180^\circ$

Теперь найдем значение $a$:

$a = \frac{180^\circ}{3}$

$a = 60^\circ$

Таким образом, средний по величине угол треугольника, углы которого образуют арифметическую прогрессию, всегда равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.