Номер 25.31, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.31, страница 249.

Условие.

25.31. Докажите, что числа, равные соответственно суммам углов треугольника, четырёхугольника, пятиугольника и т. д., образуют арифметическую прогрессию.

Решение.

Для доказательства воспользуемся формулой суммы внутренних углов выпуклого n-угольника. Обозначим эту сумму как $S_n$. Формула имеет вид:

$S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$

где $n$ — количество сторон многоугольника, и $n \ge 3$.

В задаче рассматривается последовательность чисел, которые представляют собой суммы углов треугольника ($n=3$), четырехугольника ($n=4$), пятиугольника ($n=5$) и так далее. Обозначим члены этой последовательности $a_3, a_4, a_5, \dots$, где индекс соответствует количеству сторон многоугольника.

Таким образом, общий член этой последовательности — $a_n = S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$.

Выпишем несколько первых членов этой последовательности:

• $a_3 = (3 - 2) \cdot 180^\circ = 180^\circ$
• $a_4 = (4 - 2) \cdot 180^\circ = 360^\circ$
• $a_5 = (5 - 2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$

Чтобы доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любым последующим и предыдущим членом этой последовательности является постоянной величиной. Эта величина называется разностью арифметической прогрессии ($d$).

Найдем разность между $a_{n+1}$ (сумма углов $(n+1)$-угольника) и $a_n$ (сумма углов $n$-угольника) для любого $n \ge 3$:

$d = a_{n+1} - a_n$

Подставим выражения для членов последовательности:

$a_{n+1} = ((n+1) - 2) \cdot 180^\circ = (n - 1) \cdot 180^\circ$

$a_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$

Вычислим разность:

$d = (n - 1) \cdot 180^\circ - (n - 2) \cdot 180^\circ$

Вынесем общий множитель $180^\circ$ за скобки:

$d = ((n - 1) - (n - 2)) \cdot 180^\circ = (n - 1 - n + 2) \cdot 180^\circ = 1 \cdot 180^\circ = 180^\circ$

Поскольку разность между любыми двумя последовательными членами постоянна и равна $180^\circ$, данная последовательность по определению является арифметической прогрессией. Ее первый член (для треугольника) равен $180^\circ$, а разность равна $180^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Последовательность сумм углов n-угольников образует арифметическую прогрессию, так как разность между суммой углов $(n+1)$-угольника и $n$-угольника постоянна и равна $180^\circ$.