Номер 25.38, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.38, страница 250.

Условие.

25.38. Докажите, что если значения выражений $ \frac{1}{b+c} $, $ \frac{1}{a+c} $ и $ \frac{1}{a+b} $ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то значения выражений $ a^2 $, $ b^2 $ и $ c^2 $ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Решение.

По условию, значения выражений $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ и $\frac{1}{a+b}$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Для любых трех последовательных членов арифметической прогрессии $x, y, z$ выполняется характеристическое свойство: $y - x = z - y$ (равенство разностей) или, что эквивалентно, $2y = x + z$.

Используем свойство равенства разностей:

$\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c}$

Приведем к общему знаменателю левую и правую части уравнения:

$\frac{(b+c) - (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{(a+c) - (a+b)}{(a+b)(a+c)}$

Упростим числители, раскрыв скобки:

$\frac{b-a}{(a+c)(b+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}$

Поскольку выражения $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{b+c}$ и $\frac{1}{a+b}$ существуют, их знаменатели не равны нулю. В частности, $a+c \neq 0$. Следовательно, мы можем умножить обе части равенства на $(a+c)$, сократив этот множитель в знаменателях:

$\frac{b-a}{b+c} = \frac{c-b}{a+b}$

Теперь применим правило пропорции (перекрестное умножение):

$(b-a)(a+b) = (c-b)(b+c)$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ в обеих частях равенства:

$b^2 - a^2 = c^2 - b^2$

Перегруппируем члены этого равенства:

$b^2 + b^2 = a^2 + c^2$

$2b^2 = a^2 + c^2$

Полученное равенство является характеристическим свойством для трех последовательных членов арифметической прогрессии $a^2$, $b^2$ и $c^2$. Оно означает, что удвоенный средний член равен сумме крайних членов. Таким образом, мы доказали, что значения выражений $a^2, b^2$ и $c^2$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: Утверждение доказано.