Номер 25.44, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.44, страница 250.

Условие.

25.44. Докажите, что в бесконечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, найдутся два члена, имеющие одинаковую сумму цифр.

Решение.

Пусть $a_n = a_1 + (n-1)d$ — бесконечная арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел. Это означает, что её первый член $a_1$ и разность $d$ также являются натуральными числами. Обозначим $S(x)$ сумму цифр натурального числа $x$. Требуется доказать, что существуют два различных члена прогрессии $a_i$ и $a_j$ с одинаковой суммой цифр, то есть $S(a_i) = S(a_j)$.

Сначала выберем натуральное число $k$ так, чтобы $10^k > d$. Рассмотрим $10^k+1$ первых членов прогрессии: $a_1, a_2, \ldots, a_{10^k+1}$. Согласно принципу Дирихле, среди них найдутся как минимум два члена, $a_i$ и $a_j$ (причём $i \neq j$, пусть $i < j$), которые дают одинаковый остаток при делении на $10^k$. Это значит, что их разность $D = a_j - a_i$ кратна $10^k$. Таким образом, $D$ можно представить в виде $D = q \cdot 10^k$ для некоторого натурального числа $q$.

Заметим, что $D = a_j - a_i = (j-i)d$. Это означает, что $D$ является произведением разности прогрессии $d$ на целое число $m = j-i$. Следовательно, если к любому члену прогрессии $a_s$ прибавить число $D$, то мы снова получим член этой же прогрессии: $a_s + D = a_s + md = a_{s+m}$.

Теперь построим специальную последовательность. Возьмём любой член прогрессии $a_n$. Поскольку члены прогрессии неограниченно возрастают, мы можем выбрать натуральное число $p$ такое, что $10^p > a_n$. Это означает, что в десятичной записи числа $a_n$ не более $p$ цифр.

Рассмотрим новую разность $D_p = D \cdot 10^p = q \cdot 10^{k+p}$. Так как $D_p = (m \cdot 10^p)d$, то для любого члена прогрессии $a_s$ число $a_s+D_p$ также будет членом прогрессии. Построим последовательность $b_j = a_n + j \cdot D_p$ для $j=1, 2, 3, \ldots$. Все члены $b_j$ принадлежат исходной арифметической прогрессии.

Вычислим сумму цифр члена $b_j$. Мы имеем $b_j = a_n + j \cdot q \cdot 10^{k+p}$. Число $j \cdot q \cdot 10^{k+p}$ оканчивается на $k+p$ нулей. Число $a_n$ имеет не более $p$ цифр, то есть $a_n < 10^p$. Так как $p < k+p$, при сложении $a_n$ и $j \cdot q \cdot 10^{k+p}$ не происходит переноса разрядов. Это значит, что сумма цифр суммы равна сумме сумм цифр: $S(b_j) = S(a_n + j \cdot q \cdot 10^{k+p}) = S(a_n) + S(j \cdot q)$.

Величина $S(a_n)$ является константой для нашей построенной последовательности. Нам осталось найти два различных натуральных числа $j_1$ и $j_2$ так, чтобы $S(j_1 \cdot q) = S(j_2 \cdot q)$. Если мы их найдем, то будет следовать, что $S(b_{j_1}) = S(a_n) + S(j_1 \cdot q)$ и $S(b_{j_2}) = S(a_n) + S(j_2 \cdot q)$ равны.

В качестве таких $j_1$ и $j_2$ можно взять, например, $j_1=1$ и $j_2=10$. Очевидно, $j_1 \neq j_2$. При умножении натурального числа $q$ на 10 к его десятичной записи дописывается ноль, что не изменяет сумму его цифр. Таким образом, $S(q) = S(10q)$.

Итак, мы нашли два различных члена исходной прогрессии, $b_1 = a_n + D_p$ и $b_{10} = a_n + 10D_p$, для которых суммы цифр равны:$S(b_1) = S(a_n) + S(q)$,$S(b_{10}) = S(a_n) + S(10q) = S(a_n) + S(q)$. Следовательно, $S(b_1) = S(b_{10})$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.