Номер 25.48, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.48, страница 250.

Условие.

25.48. Найдите наибольшее значение выражения $ \frac{x^2}{9 + x^4} $.

Решение.

Обозначим данное выражение как $f(x) = \frac{x^2}{9 + x^4}$.

Мы ищем наибольшее значение этого выражения. Заметим, что числитель $x^2 \ge 0$ и знаменатель $9 + x^4 > 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, значение выражения всегда неотрицательно, $f(x) \ge 0$.

При $x=0$, значение выражения равно $f(0) = \frac{0}{9+0} = 0$. Так как для других значений $x$ (например, $x=1$, $f(1)=\frac{1}{10} > 0$) выражение принимает положительные значения, $0$ не является наибольшим значением. Поэтому мы можем считать, что $x \neq 0$.

Чтобы найти наибольшее значение $f(x)$, удобно найти наименьшее значение обратного выражения $\frac{1}{f(x)}$, так как при $x \neq 0$ $f(x) > 0$.

Рассмотрим обратное выражение: $\frac{1}{f(x)} = \frac{9 + x^4}{x^2}$

Разделим числитель на знаменатель почленно: $\frac{9 + x^4}{x^2} = \frac{9}{x^2} + \frac{x^4}{x^2} = x^2 + \frac{9}{x^2}$

Теперь найдем наименьшее значение выражения $g(x) = x^2 + \frac{9}{x^2}$ при $x \neq 0$. Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $a$ и $b$: $a+b \ge 2\sqrt{ab}$.

Пусть $a = x^2$ и $b = \frac{9}{x^2}$. Поскольку $x \neq 0$, оба этих числа положительны. Применяя неравенство Коши, получаем: $x^2 + \frac{9}{x^2} \ge 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{9}{x^2}}$ $x^2 + \frac{9}{x^2} \ge 2\sqrt{9}$ $x^2 + \frac{9}{x^2} \ge 6$

Таким образом, наименьшее значение выражения $g(x) = x^2 + \frac{9}{x^2}$ равно 6. Это значение достигается, когда слагаемые равны: $x^2 = \frac{9}{x^2}$ $x^4 = 9$ $x^2 = 3$ (поскольку $x^2$ должно быть положительным) $x = \pm\sqrt{3}$

Поскольку наименьшее значение обратного выражения $\frac{1}{f(x)}$ равно 6, то наибольшее значение исходного выражения $f(x)$ равно $\frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$