Номер 25.42, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.42, страница 250.

Условие.

25.42. Известно, что бесконечная арифметическая прогрессия, членами которой являются натуральные числа, содержит квадрат натурального числа. Докажите, что эта прогрессия содержит бесконечно много членов, являющихся квадратами натуральных чисел.

Решение.

Пусть дана бесконечная арифметическая прогрессия $\{a_n\}$, общий член которой $a_n = a_1 + (n-1)d$. По условию, все члены прогрессии — натуральные числа, следовательно, первый член $a_1 \in \mathbb{N}$ и разность прогрессии $d$ является целым неотрицательным числом. Если $d=0$, то все члены прогрессии равны $a_1$. По условию, прогрессия содержит квадрат натурального числа, значит, $a_1 = m^2$ для некоторого $m \in \mathbb{N}$. В этом случае все члены прогрессии равны $m^2$, и утверждение задачи очевидно, так как прогрессия содержит бесконечно много членов, являющихся квадратами.

Рассмотрим случай $d > 0$, то есть $d \in \mathbb{N}$. По условию, в прогрессии существует член, являющийся квадратом натурального числа. Пусть это $k$-й член: $a_k = a_1 + (k-1)d = m^2$ для некоторых натуральных $k$ и $m$. Мы покажем, как, имея один такой член, можно построить бесконечно много других. Будем искать следующий член-квадрат в виде $(m+x)^2$ для некоторого натурального числа $x$.

Для того чтобы число $(m+x)^2$ было членом нашей арифметической прогрессии, разность между ним и уже известным членом $a_k = m^2$ должна быть кратна разности прогрессии $d$. Эта разность равна $(m+x)^2 - m^2 = 2mx + x^2 = x(2m+x)$. Чтобы это выражение было кратно $d$, достаточно выбрать $x$ кратным $d$. Положим $x = s \cdot d$ для любого натурального числа $s \in \{1, 2, 3, \ldots\}$. Тогда разность становится равной $sd(2m+sd) = (2ms+s^2d)d$. Обозначим $q_s = 2ms+s^2d$. Поскольку $m, s, d$ — натуральные числа, $q_s$ также является натуральным числом. Таким образом, мы нашли число $(m+sd)^2 = m^2 + q_s d$, которое отличается от $m^2$ на величину, кратную $d$.

Покажем, что это число является членом прогрессии. $(m+sd)^2 = m^2 + q_s d = a_k + q_s d = (a_1 + (k-1)d) + q_s d = a_1 + (k-1+q_s)d$. Обозначив $j_s = k+q_s$, мы видим, что $(m+sd)^2 = a_1 + (j_s-1)d = a_{j_s}$. Таким образом, $(m+sd)^2$ является $j_s$-м членом прогрессии. Поскольку мы можем выбрать любое натуральное число $s$, мы получаем бесконечную последовательность различных членов-квадратов: $(m+d)^2, (m+2d)^2, (m+3d)^2, \ldots$. Все эти числа различны, так как $m>0$ и $d>0$. Следовательно, прогрессия содержит бесконечно много членов, являющихся квадратами натуральных чисел, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.