Номер 25.36, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.36, страница 249.

Условие.

25.36. Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, в которой $a_k = m$, $a_m = k(m \neq k)$. Найдите $a_{k+m}$.

Решение.

Пусть $(a_n)$ — данная арифметическая прогрессия, $a_1$ — её первый член, а $d$ — её разность.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи нам известно, что $a_k = m$ и $a_m = k$. Запишем эти условия, используя формулу n-го члена:

$a_k = a_1 + (k-1)d = m$ (1)

$a_m = a_1 + (m-1)d = k$ (2)

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$. Чтобы найти разность $d$, вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$(a_1 + (k-1)d) - (a_1 + (m-1)d) = m - k$

$a_1 + kd - d - a_1 - md + d = m - k$

$kd - md = m - k$

$d(k - m) = -(k - m)$

Поскольку по условию $m \neq k$, то $k - m \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(k - m)$:

$d = \frac{-(k-m)}{k-m} = -1$

Теперь, зная разность прогрессии $d = -1$, мы можем найти $a_1$, подставив это значение в любое из уравнений системы. Возьмём уравнение (1):

$a_1 + (k-1)(-1) = m$

$a_1 - k + 1 = m$

$a_1 = k + m - 1$

Нам необходимо найти член прогрессии $a_{k+m}$. Воспользуемся общей формулой n-го члена для $n = k+m$:

$a_{k+m} = a_1 + (k+m-1)d$

Подставим найденные значения $a_1 = k + m - 1$ и $d = -1$:

$a_{k+m} = (k + m - 1) + (k+m-1)(-1)$

$a_{k+m} = (k + m - 1) - (k+m-1)$

$a_{k+m} = 0$

Также можно было найти $a_{k+m}$ проще, выразив его через один из известных членов, например, $a_k$:

$a_{k+m} = a_k + ((k+m)-k)d = a_k + md$

Подставив известные значения $a_k = m$ и $d = -1$, получаем:

$a_{k+m} = m + m(-1) = m - m = 0$

Ответ: $0$