Номер 25.43, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.43, страница 250.

Условие.

25.43. Числа $a$, $b$, $a^2$ являются членами бесконечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел. Известно, что $a < b$. Докажите, что число $b^2$ является членом этой прогрессии.

Решение.

Пусть $d$ — разность данной арифметической прогрессии. Поскольку все члены прогрессии — натуральные числа и по условию $a < b$, то разность прогрессии $d$ также является натуральным числом.

По свойству арифметической прогрессии, разность любых двух её членов делится на $d$.

Числа $a$, $b$ и $a^2$ являются членами прогрессии. Следовательно, разности $(b-a)$ и $(a^2-a)$ кратны $d$. Это можно записать в виде:

$b - a = k \cdot d$, где $k$ — натуральное число (так как $a < b$).

$a^2 - a = m \cdot d$, где $m$ — целое число.

Из первого равенства выразим $b$: $b = a + kd$.

Чтобы доказать, что число $b^2$ является членом этой же прогрессии, достаточно показать, что разность $b^2$ и какого-либо другого члена прогрессии (например, $b$) делится на $d$.

Рассмотрим разность $b^2 - b$:

$b^2 - b = b(b-1) = (a+kd)(a+kd-1)$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$b^2 - b = (a+kd)^2 - (a+kd) = (a^2 + 2akd + k^2d^2) - (a+kd) = (a^2 - a) + 2akd - kd + k^2d^2$

Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие $d$:

$b^2 - b = (a^2 - a) + d \cdot (2ak - k + k^2d)$

Мы знаем, что $a^2 - a = md$. Подставим это в выражение:

$b^2 - b = md + d \cdot (2ak - k + k^2d)$

Вынесем $d$ за скобки:

$b^2 - b = d \cdot (m + 2ak - k + k^2d)$

Поскольку $a, k, m, d$ — целые числа, то выражение в скобках $(m + 2ak - k + k^2d)$ также является целым числом. Обозначим его как $N$.

Тогда $b^2 - b = N \cdot d$. Это означает, что разность $b^2 - b$ делится на $d$.

Так как $b$ является членом прогрессии, а $b^2$ отличается от $b$ на число, кратное разности прогрессии $d$, то $b^2$ также является членом этой арифметической прогрессии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что число $b^2$ является членом данной арифметической прогрессии.