Номер 25.46, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.46, страница 250.

Условие.

25.46. Существует ли нестационарная бесконечная арифметическая прогрессия, состоящая из простых чисел?

Решение.

Докажем, что такой прогрессии не существует, методом от противного.

Предположим, что существует нестационарная бесконечная арифметическая прогрессия, состоящая из простых чисел.Обозначим первый член этой прогрессии как $a_1$, а её разность как $d$.

Из условий задачи следует:

• Прогрессия нестационарная, значит, её разность $d \neq 0$.
• Все члены прогрессии — простые числа. Поскольку простые числа — это натуральные числа, большие 1, все члены прогрессии должны быть положительными. Если бы разность $d$ была отрицательной, то начиная с некоторого номера члены прогрессии стали бы отрицательными. Следовательно, разность $d$ должна быть положительным целым числом: $d \in \mathbb{Z}, d > 0$.
• Первый член $a_1$ также является простым числом. Обозначим его буквой $p$. Таким образом, $a_1 = p$, где $p$ — простое число.

Формула для $n$-го члена этой прогрессии имеет вид:$a_n = a_1 + (n-1)d = p + (n-1)d$

Рассмотрим $(p+1)$-й член нашей прогрессии, то есть $a_{p+1}$. Подставим $n = p+1$ в формулу:$a_{p+1} = p + ((p+1)-1)d = p + pd$

Вынесем общий множитель $p$ за скобки:$a_{p+1} = p(1+d)$

Теперь проанализируем полученное выражение для $a_{p+1}$. Это число является произведением двух множителей: $p$ и $(1+d)$.

• Так как $p$ — это первый член прогрессии и является простым числом, то $p \ge 2$.
• Так как $d$ — положительное целое число, то $d \ge 1$, и, следовательно, второй множитель $(1+d) \ge 2$.

Таким образом, член прогрессии $a_{p+1}$ является произведением двух целых чисел, каждое из которых больше или равно 2. Это по определению означает, что $a_{p+1}$ является составным числом.

Это противоречит нашему исходному предположению о том, что все члены прогрессии являются простыми числами. Следовательно, наше предположение было неверным.

Этот вывод можно обобщить: для любого члена прогрессии $a_k = q$, который является простым числом, член прогрессии $a_{k+q}$ будет составным:$a_{k+q} = a_k + qd = q + qd = q(1+d)$. Поскольку $d > 0$, то $a_{k+q} > q$, а так как $a_{k+q}$ делится на $q$, оно не может быть простым.

Следовательно, не существует нестационарной бесконечной арифметической прогрессии, которая состоит только из простых чисел.

Ответ: не существует.