Номер 25.47, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.47, страница 250.

Условие.

25.47. При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$\begin{cases} ax + 2y = 3, \\ 8x + ay = a + 2 \end{cases}$не имеет решений?

Решение.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида$\begin{cases}A_1x + B_1y = C_1 \\A_2x + B_2y = C_2\end{cases}$не имеет решений в том и только в том случае, когда отношения коэффициентов при соответствующих переменных равны, но не равны отношению свободных членов. Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны и не совпадают. Алгебраически это условие можно записать в виде:$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$

В данной системе уравнений:$\begin{cases}ax + 2y = 3 \\8x + ay = a+2\end{cases}$коэффициенты имеют следующие значения:
$A_1 = a, B_1 = 2, C_1 = 3$
$A_2 = 8, B_2 = a, C_2 = a+2$

Подставим эти значения в условие отсутствия решений:$\frac{a}{8} = \frac{2}{a} \neq \frac{3}{a+2}$

Сначала решим уравнение, составленное из первой части этого условия:$\frac{a}{8} = \frac{2}{a}$

Применяя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:$a \cdot a = 8 \cdot 2$
$a^2 = 16$
Отсюда находим два возможных значения для параметра $a$: $a_1 = 4$ и $a_2 = -4$.

Теперь необходимо проверить каждое из найденных значений $a$, подставив их во вторую часть условия, то есть в неравенство $\frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

Проверка для $a = 4$
Проверим, выполняется ли неравенство $\frac{2}{a} \neq \frac{3}{a+2}$ при $a=4$:
$\frac{2}{4} \neq \frac{3}{4+2}$
$\frac{1}{2} \neq \frac{3}{6}$
$\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2}$
Данное неравенство ложно, так как левая и правая части равны. Это означает, что при $a=4$ все три отношения равны ($\frac{4}{8} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$), и система имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают).

Проверка для $a = -4$
Проверим, выполняется ли неравенство $\frac{2}{a} \neq \frac{3}{a+2}$ при $a=-4$:
$\frac{2}{-4} \neq \frac{3}{-4+2}$
$-\frac{1}{2} \neq \frac{3}{-2}$
$-\frac{1}{2} \neq -\frac{3}{2}$
Данное неравенство истинно. Следовательно, при $a=-4$ выполняется условие $\frac{a}{8} = \frac{2}{a} \neq \frac{3}{a+2}$, и система уравнений не имеет решений.

Ответ: $a = -4$.