Вопросы?, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - страница 253.

Условие.

1. Как найти сумму $n$ первых членов арифметической прогрессии, если известны её первый и последний члены?

2. Как найти сумму $n$ первых членов арифметической прогрессии, если известны её первый член и разность?

Решение.

1. Как найти сумму n первых членов арифметической прогрессии, если известны её первый и последний члены?

Для вычисления суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии ($S_n$), когда известны её первый член ($a_1$) и $n$-й (в данном случае последний) член ($a_n$), используется формула, основанная на свойстве равноудаленных членов прогрессии. Сумма равна произведению полусуммы первого и последнего членов на их количество.

Математически это выражается следующей формулой:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

где:

• $S_n$ — сумма $n$ первых членов прогрессии;
• $a_1$ — первый член прогрессии;
• $a_n$ — $n$-й член прогрессии;
• $n$ — количество членов прогрессии.

Ответ: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

2. Как найти сумму n первых членов арифметической прогрессии, если известны её первый член и разность?

Если для нахождения суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии ($S_n$) известны её первый член ($a_1$) и разность ($d$), то применяется другая формула. Эта формула является следствием предыдущей.

Для её вывода используется формула $n$-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n-1)$

Теперь подставим это выражение для $a_n$ в первую формулу суммы:

$S_n = \frac{a_1 + (a_1 + d(n-1))}{2} \cdot n$

После упрощения выражения в числителе дроби получаем итоговую формулу для расчёта суммы через первый член и разность:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где:

• $S_n$ — сумма $n$ первых членов прогрессии;
• $a_1$ — первый член прогрессии;
• $d$ — разность прогрессии;
• $n$ — количество членов прогрессии.

Ответ: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$