Номер 26.7, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.7, страница 253.

Условие.

26.7. Найдите сумму тридцати трёх первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_3 + a_5 + a_{13} = 33$ и $a_{15} - a_8 - a_{10} = -1$.

Решение.

Пусть $a_1$ – первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, а $d$ – её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Используя эту формулу, перепишем данные в условии уравнения, выразив члены прогрессии через $a_1$ и $d$.

Для первого уравнения $a_3 + a_5 + a_{13} = 33$ имеем:

$(a_1 + (3-1)d) + (a_1 + (5-1)d) + (a_1 + (13-1)d) = 33$

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 12d) = 33$

$3a_1 + 18d = 33$

Разделив обе части уравнения на 3, получаем первое уравнение для системы:

$a_1 + 6d = 11$

Для второго уравнения $a_{15} - a_8 - a_{10} = -1$ имеем:

$(a_1 + (15-1)d) - (a_1 + (8-1)d) - (a_1 + (10-1)d) = -1$

$(a_1 + 14d) - (a_1 + 7d) - (a_1 + 9d) = -1$

$a_1 + 14d - a_1 - 7d - a_1 - 9d = -1$

$-a_1 - 2d = -1$

Умножив обе части уравнения на -1, получаем второе уравнение для системы:

$a_1 + 2d = 1$

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} a_1 + 6d = 11 \\ a_1 + 2d = 1 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 11 - 1$

$4d = 10$

Отсюда находим разность прогрессии: $d = \frac{10}{4} = 2.5$.

Подставим найденное значение $d$ в уравнение $a_1 + 2d = 1$, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 2 \cdot 2.5 = 1$

$a_1 + 5 = 1$

$a_1 = 1 - 5 = -4$.

Итак, мы нашли первый член прогрессии $a_1 = -4$ и её разность $d = 2.5$.

Теперь необходимо найти сумму тридцати трёх первых членов прогрессии ($S_{33}$). Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в формулу значения $n = 33$, $a_1 = -4$ и $d = 2.5$:

$S_{33} = \frac{2 \cdot (-4) + 2.5 \cdot (33-1)}{2} \cdot 33$

$S_{33} = \frac{-8 + 2.5 \cdot 32}{2} \cdot 33$

$S_{33} = \frac{-8 + 80}{2} \cdot 33$

$S_{33} = \frac{72}{2} \cdot 33$

$S_{33} = 36 \cdot 33$

$S_{33} = 1188$

Ответ: 1188