Номер 26.13, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.13, страница 254.

Условие.

26.13. Какое натуральное число равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел?

Решение.

26.13.

Обозначим искомое натуральное число через $n$. Согласно условию задачи, это число должно быть равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел. Предшествующими натуральными числами для $n$ являются $1, 2, 3, \dots, n-1$.

Таким образом, условие можно записать в виде уравнения: $n = 1 + 2 + 3 + \dots + (n-1)$

Сумма в правой части уравнения — это сумма первых $n-1$ членов арифметической прогрессии. Для ее вычисления воспользуемся формулой суммы первых $k$ натуральных чисел: $S_k = \frac{k(k+1)}{2}$. В нашем случае $k = n-1$, поэтому сумма равна: $S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1)+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$

Подставив это выражение в исходное уравнение, получим: $n = \frac{n(n-1)}{2}$

Для решения этого уравнения умножим обе части на 2 и перенесем все члены в одну сторону: $2n = n(n-1)$
$2n = n^2 - n$
$n^2 - 3n = 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки: $n(n-3) = 0$

Полученное уравнение имеет два корня: $n_1=0$ и $n_2=3$.

Так как по условию мы ищем натуральное число (натуральные числа — это $1, 2, 3, \dots$), корень $n=0$ не подходит. Следовательно, единственным решением является $n=3$.

Выполним проверку. Для числа 3 предшествующими натуральными числами являются 1 и 2. Их сумма равна $1 + 2 = 3$, что совпадает с самим числом 3.

Ответ: 3