Номер 26.16, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.16, страница 254.

Условие.

26.16. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 5 и не больших 240.

Решение.

26.16.

Нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, которые делятся на 5 и не превышают 240. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число, кратное 5, то есть $a_1 = 5$.

Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее натуральное число, не превышающее 240 и кратное 5. Это число $a_n = 240$.

Разность прогрессии ($d$) равна 5, поскольку мы ищем числа, кратные 5.

Сначала определим количество членов ($n$) в этой прогрессии. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения в формулу:
$240 = 5 + (n-1) \cdot 5$
$240 - 5 = (n-1) \cdot 5$
$235 = 5(n-1)$
$n-1 = \frac{235}{5}$
$n-1 = 47$
$n = 47 + 1 = 48$
Итак, в последовательности 48 чисел.

Теперь вычислим сумму этих чисел, используя формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения:
$S_{48} = \frac{5 + 240}{2} \cdot 48$
$S_{48} = \frac{245}{2} \cdot 48$
$S_{48} = 245 \cdot 24$
$S_{48} = 5880$

Ответ: 5880