Номер 26.23, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.23, страница 254.

Условие.

26.23. Первый член арифметической прогрессии равен -9, а разность равна 6. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной 960?

Решение.

26.23.

По условию задачи мы имеем дело с арифметической прогрессией. Нам даны следующие значения:

• Первый член прогрессии: $a_1 = -9$
• Разность прогрессии: $d = 6$
• Сумма первых $n$ членов прогрессии: $S_n = 960$

Необходимо найти количество членов прогрессии $n$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в эту формулу:

$960 = \frac{2 \cdot (-9) + 6 \cdot (n-1)}{2} \cdot n$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$.

Упростим выражение в числителе дроби:

$960 = \frac{-18 + 6n - 6}{2} \cdot n$

$960 = \frac{6n - 24}{2} \cdot n$

Разделим числитель на 2:

$960 = (3n - 12) \cdot n$

Раскроем скобки:

$960 = 3n^2 - 12n$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3n^2 - 12n - 960 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 3:

$n^2 - 4n - 320 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296$

Найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{1296}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 36}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$n_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{1296}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 36}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку количество членов прогрессии ($n$) должно быть натуральным числом, корень $n_2 = -16$ не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, для того чтобы сумма была равна 960, нужно взять 20 первых членов прогрессии.

Ответ: 20.