Номер 26.26, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.26, страница 255.

Условие.

26.26. Может ли сумма каких-либо четырёх последовательных членов арифметической прогрессии 2, 8, 14, ... быть равной 176? В случае утвердительного ответа найдите эти члены.

Решение.

Данная последовательность 2, 8, 14, ... является арифметической прогрессией. Сначала определим ее параметры: первый член и разность.

Первый член прогрессии $a_1 = 2$.

Разность прогрессии $d$ равна разности между любым последующим и предыдущим членом:

$d = a_2 - a_1 = 8 - 2 = 6$.

Пусть искомые четыре последовательных члена прогрессии — это $a_n$, $a_{n+1}$, $a_{n+2}$ и $a_{n+3}$ для некоторого натурального числа $n$. По условию задачи, их сумма должна быть равна 176.

$a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3} = 176$

Выразим каждый из этих членов через $a_n$ и разность $d=6$:

• $a_{n+1} = a_n + d = a_n + 6$
• $a_{n+2} = a_n + 2d = a_n + 12$
• $a_{n+3} = a_n + 3d = a_n + 18$

Теперь подставим эти выражения в уравнение для суммы:

$a_n + (a_n + 6) + (a_n + 12) + (a_n + 18) = 176$

Сгруппируем слагаемые и решим уравнение относительно $a_n$:

$4a_n + (6 + 12 + 18) = 176$

$4a_n + 36 = 176$

$4a_n = 176 - 36$

$4a_n = 140$

$a_n = \frac{140}{4} = 35$

Таким образом, если такие четыре члена существуют, то первый из них должен быть равен 35. Теперь необходимо проверить, является ли число 35 членом данной арифметической прогрессии. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения $a_n=35$, $a_1=2$ и $d=6$ и найдем $n$:

$35 = 2 + (n-1) \cdot 6$

$33 = 6(n-1)$

$n-1 = \frac{33}{6} = \frac{11}{2} = 5.5$

$n = 5.5 + 1 = 6.5$

Номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом. Поскольку мы получили дробное значение $n = 6.5$, это означает, что число 35 не является членом данной арифметической прогрессии. Следовательно, не существует четырех последовательных членов этой прогрессии, сумма которых равна 176.

Ответ: нет, не может.