Номер 26.30, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.30, страница 255.

Условие.

26.30. Найдите сумму членов арифметической прогрессии $(x_n)$ с десятого по двадцать пятый включительно, если $(x_1 = -3)$ и $(x_{11} = 12)$.

Решение.

Для нахождения суммы членов арифметической прогрессии $(x_n)$ с десятого по двадцать пятый включительно, необходимо выполнить несколько шагов. Сначала найдем разность прогрессии, затем вычислим десятый и двадцать пятый члены, и после этого найдем их сумму.

1. Нахождение разности прогрессии ($d$)

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $x_n = x_1 + (n-1)d$. Нам даны $x_1 = -3$ и $x_{11} = 12$. Подставим эти значения в формулу для $n=11$: $12 = -3 + (11-1)d$ $12 = -3 + 10d$ $15 = 10d$ $d = \frac{15}{10} = 1.5$

2. Нахождение десятого ($x_{10}$) и двадцать пятого ($x_{25}$) членов

Зная разность $d$, мы можем найти любой член прогрессии. Для десятого члена ($n=10$): $x_{10} = x_1 + (10-1)d = -3 + 9 \cdot 1.5 = -3 + 13.5 = 10.5$

Для двадцать пятого члена ($n=25$): $x_{25} = x_1 + (25-1)d = -3 + 24 \cdot 1.5 = -3 + 36 = 33$

3. Вычисление суммы

Нам нужно найти сумму членов с десятого по двадцать пятый. Это арифметическая прогрессия, в которой первый член $a_1 = x_{10} = 10.5$, последний член $a_k = x_{25} = 33$, а количество членов $k = 25 - 10 + 1 = 16$.

Используем формулу суммы арифметической прогрессии $S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k$: $S = \frac{x_{10} + x_{25}}{2} \cdot 16$ $S = \frac{10.5 + 33}{2} \cdot 16$ $S = \frac{43.5}{2} \cdot 16$ $S = 43.5 \cdot 8$ $S = 348$

Ответ: 348