Номер 26.36, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.36, страница 255.

Условие.

26.36. Решите уравнение:

1) $11 + 19 + 27 + \ldots + (8n + 3) = 470$, где $n$ — натуральное число;

2) $1 + 5 + 9 + \ldots + x = 630$, где $x$ — натуральное число.

Решение.

1) $11 + 19 + 27 + ... + (8n + 3) = 470$, где $n$ — натуральное число;

Левая часть уравнения представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Определим параметры этой прогрессии: Первый член $a_1 = 11$. Второй член $a_2 = 19$. Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 19 - 11 = 8$. Последний, $k$-й член прогрессии, $a_k = 8n + 3$. Найдем номер этого члена, используя формулу $k$-го члена арифметической прогрессии $a_k = a_1 + (k-1)d$: $8n + 3 = 11 + (k-1)8$ $8n + 3 = 11 + 8k - 8$ $8n + 3 = 3 + 8k$ $8n = 8k$, откуда $k=n$. Таким образом, в сумме ровно $n$ членов. Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставим в формулу известные значения: $S_n = 470$, $a_1 = 11$, $a_n = 8n + 3$. $470 = \frac{11 + (8n + 3)}{2} \cdot n$ $470 = \frac{14 + 8n}{2} \cdot n$ $470 = (7 + 4n)n$ $4n^2 + 7n - 470 = 0$. Мы получили квадратное уравнение. Решим его. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-470) = 49 + 16 \cdot 470 = 49 + 7520 = 7569$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{7569} = 87$. Найдем корни уравнения: $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 87}{2 \cdot 4} = \frac{80}{8} = 10$. $n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 87}{2 \cdot 4} = \frac{-94}{8} = -11.75$. По условию $n$ — натуральное число, поэтому подходит только корень $n_1 = 10$.

Ответ: 10.

2) $1 + 5 + 9 + ... + x = 630$, где $x$ — натуральное число.

Левая часть этого уравнения также является суммой членов арифметической прогрессии. Определим ее параметры: Первый член $a_1 = 1$. Второй член $a_2 = 5$. Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 5 - 1 = 4$. Последний член прогрессии $a_n = x$. Сумма прогрессии $S_n = 630$. Выразим количество членов $n$ через $x$ с помощью формулы $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$: $x = 1 + (n-1)4$ $x - 1 = 4(n-1)$ $n - 1 = \frac{x-1}{4}$ $n = \frac{x-1}{4} + 1 = \frac{x-1+4}{4} = \frac{x+3}{4}$. Теперь воспользуемся формулой суммы $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставим известные значения и полученное выражение для $n$: $630 = \frac{1 + x}{2} \cdot \frac{x+3}{4}$ $630 = \frac{(1+x)(x+3)}{8}$ $630 \cdot 8 = (1+x)(x+3)$ $5040 = x^2 + 3x + x + 3$ $5040 = x^2 + 4x + 3$ $x^2 + 4x - 5037 = 0$. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5037) = 16 + 20148 = 20164$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{20164} = 142$. Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 142}{2} = \frac{138}{2} = 69$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 142}{2} = \frac{-146}{2} = -73$. По условию $x$ — натуральное число, поэтому подходит только корень $x_1 = 69$. Проверим, может ли $x=69$ быть членом данной прогрессии. Для этого $n$ должно быть натуральным числом: $n = \frac{69+3}{4} = \frac{72}{4} = 18$. Так как $n=18$ — натуральное число, решение $x=69$ является верным.

Ответ: 69.