Номер 26.42, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.42, страница 256.

Условие.

26.42. В конечной арифметической прогрессии нечётное количество членов. Сумма членов, стоящих на местах с чётными номерами, равна сумме членов, стоящих на местах с нечётными номерами. Найдите сумму всех членов этой прогрессии.

Решение.

Пусть дана конечная арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$.

По условию, количество членов в прогрессии нечётное. Обозначим его как $N = 2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Тогда члены прогрессии можно записать как $a_1, a_2, \dots, a_{2k}, a_{2k+1}$.

Сумма членов, стоящих на нечётных местах, обозначается как $S_{нечёт}$:$S_{нечёт} = a_1 + a_3 + \dots + a_{2k+1}$. В этой сумме $k+1$ слагаемое.

Сумма членов, стоящих на чётных местах, обозначается как $S_{чёт}$:$S_{чёт} = a_2 + a_4 + \dots + a_{2k}$. В этой сумме $k$ слагаемых.

По условию задачи, эти суммы равны: $S_{чёт} = S_{нечёт}$. Отсюда следует, что их разность равна нулю: $S_{нечёт} - S_{чёт} = 0$.

Рассмотрим эту разность подробнее, сгруппировав слагаемые:$S_{нечёт} - S_{чёт} = (a_1 + a_3 + \dots + a_{2k+1}) - (a_2 + a_4 + \dots + a_{2k}) = a_1 + (a_3 - a_2) + (a_5 - a_4) + \dots + (a_{2k+1} - a_{2k})$.

Для любой арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами равна разности прогрессии $d$. Таким образом:$a_3 - a_2 = d$$a_5 - a_4 = d$...$a_{2k+1} - a_{2k} = d$

Количество таких разностей равно количеству членов в сумме $S_{чёт}$, то есть $k$. Подставив это в выражение для разности сумм, получаем:$S_{нечёт} - S_{чёт} = a_1 + \underbrace{d + d + \dots + d}_{k \text{ раз}} = a_1 + kd$.

Так как $S_{нечёт} - S_{чёт} = 0$, то мы приходим к равенству:$a_1 + kd = 0$.

Заметим, что выражение $a_1 + kd$ — это член прогрессии с номером $k+1$, так как по формуле n-го члена $a_{k+1} = a_1 + ((k+1)-1)d = a_1 + kd$. Поскольку общее число членов $N = 2k+1$, то член $a_{k+1}$ является средним членом прогрессии. Таким образом, мы установили, что средний член прогрессии равен нулю.

Требуется найти сумму всех членов этой прогрессии $S_{общ}$.$S_{общ} = S_{нечёт} + S_{чёт}$. Поскольку по условию $S_{нечёт} = S_{чёт}$, то $S_{общ} = 2S_{нечёт}$.

Вычислим $S_{нечёт}$. Члены, стоящие на нечётных местах, сами образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1$, разностью $2d$ и количеством членов $k+1$. Сумма этой прогрессии равна:$S_{нечёт} = \frac{a_1 + a_{2k+1}}{2} \cdot (k+1) = \frac{a_1 + (a_1 + 2kd)}{2} \cdot (k+1) = \frac{2a_1 + 2kd}{2} \cdot (k+1) = (a_1 + kd)(k+1)$.

Ранее мы получили, что $a_1 + kd = 0$. Подставим это значение в формулу для $S_{нечёт}$:$S_{нечёт} = 0 \cdot (k+1) = 0$.

Следовательно, $S_{чёт}$ также равна 0. Тогда общая сумма всех членов прогрессии:$S_{общ} = S_{нечёт} + S_{чёт} = 0 + 0 = 0$.

Ответ: 0