Номер 26.39, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.39, страница 256.

Условие.

26.39. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело ни на 3, ни на 5.

Решение.

Чтобы найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5, мы сначала найдем сумму всех двузначных чисел, а затем вычтем из нее сумму чисел, которые делятся на 3 или на 5.

1. Найдем сумму всех двузначных чисел ($S_{всех}$). Двузначные числа — это числа от 10 до 99. Они образуют арифметическую прогрессию.
Первый член прогрессии $a_1 = 10$.
Последний член $a_n = 99$.
Количество членов в этой прогрессии: $n = 99 - 10 + 1 = 90$.
Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{всех} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$.

2. Найдем сумму двузначных чисел, которые делятся на 3 ($S_3$). Эти числа также образуют арифметическую прогрессию: 12, 15, ..., 99.
Первый член $b_1 = 12$.
Последний член $b_m = 99$.
Количество членов $m = \frac{99 - 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$.
$S_3 = \frac{12 + 99}{2} \cdot 30 = \frac{111}{2} \cdot 30 = 111 \cdot 15 = 1665$.

3. Найдем сумму двузначных чисел, которые делятся на 5 ($S_5$). Эти числа образуют арифметическую прогрессию: 10, 15, ..., 95.
Первый член $c_1 = 10$.
Последний член $c_k = 95$.
Количество членов $k = \frac{95 - 10}{5} + 1 = \frac{85}{5} + 1 = 17 + 1 = 18$.
$S_5 = \frac{10 + 95}{2} \cdot 18 = \frac{105}{2} \cdot 18 = 105 \cdot 9 = 945$.

4. Чтобы найти сумму чисел, делящихся на 3 или 5 ($S_{3 \cup 5}$), нужно сложить $S_3$ и $S_5$ и вычесть сумму чисел, которые делятся и на 3, и на 5 (то есть на 15), так как они были посчитаны дважды. Найдем сумму двузначных чисел, которые делятся на 15 ($S_{15}$).
Это прогрессия: 15, 30, ..., 90.
Первый член $d_1 = 15$.
Последний член $d_p = 90$.
Количество членов $p = \frac{90 - 15}{15} + 1 = \frac{75}{15} + 1 = 5 + 1 = 6$.
$S_{15} = \frac{15 + 90}{2} \cdot 6 = \frac{105}{2} \cdot 6 = 105 \cdot 3 = 315$.

5. Теперь найдем сумму двузначных чисел, делящихся на 3 или 5:
$S_{3 \cup 5} = S_3 + S_5 - S_{15} = 1665 + 945 - 315 = 2610 - 315 = 2295$.

6. Наконец, искомая сумма — это разность между суммой всех двузначных чисел и суммой двузначных чисел, которые делятся на 3 или 5.
$S_{искомая} = S_{всех} - S_{3 \cup 5} = 4905 - 2295 = 2610$.

Ответ: 2610