Номер 26.43, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.43, страница 256.

Условие.

26.43. В баскетбольном турнире, проходившем в один круг, участвовали $n$ команд. После окончания турнира оказалось, что очки, набранные командами, образуют нестационарную арифметическую прогрессию. Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место, если за победу в каждой встрече команда получала 2 очка, за поражение очки не начислялись, а игр, сыгранных вничью, в баскетболе нет?

Решение.

Пусть в турнире участвовало $n$ команд. Турнир проходил в один круг, значит, каждая команда сыграла с каждой другой командой ровно один раз. Общее количество игр в турнире равно числу сочетаний из $n$ по 2:

$N_{игр} = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

По условиям, за победу команда получает 2 очка, за поражение — 0 очков, а ничьих не бывает. Это означает, что в каждой игре разыгрывается ровно 2 очка. Таким образом, общая сумма очков, набранных всеми командами, равна:

$S_{общ} = 2 \cdot N_{игр} = 2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$

По условию, очки, набранные командами, образуют нестационарную арифметическую прогрессию. Обозначим эту прогрессию как $a_1, a_2, \dots, a_n$, где $a_1$ — количество очков у команды, занявшей последнее место, а $a_n$ — у команды, занявшей первое место. Пусть $d$ — разность этой прогрессии.

Поскольку прогрессия нестационарная, $d \neq 0$. Так как команды упорядочены по занятым местам, можно считать, что $a_1 < a_2 < \dots < a_n$, следовательно, $d > 0$.

Сумма очков всех команд также может быть вычислена как сумма членов арифметической прогрессии:

$S_{общ} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Приравняем два выражения для общей суммы очков:

$n(n-1) = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Поскольку команд как минимум две ($n \ge 2$), мы можем разделить обе части уравнения на $n$:

$n-1 = \frac{a_1 + a_n}{2}$

$2(n-1) = a_1 + a_n$

Количество очков, набранное любой командой, равно удвоенному числу ее побед. Следовательно, количество очков каждой команды — это четное неотрицательное целое число. Так как все члены прогрессии ($a_1, a_2, \dots, a_n$) являются четными числами, их разность $d$ также должна быть четным числом. Учитывая, что $d > 0$, минимальное возможное значение для $d$ — это 2. Итак, $d$ — четное натуральное число, $d \ge 2$.

Выразим $n$-й член прогрессии через первый: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим это выражение в наше уравнение:

$2(n-1) = a_1 + (a_1 + (n-1)d)$

$2(n-1) = 2a_1 + (n-1)d$

Выразим $2a_1$:

$2a_1 = 2(n-1) - (n-1)d$

$2a_1 = (n-1)(2-d)$

Рассмотрим это равенство. Мы знаем, что:

1. $a_1 \ge 0$ (количество очков не может быть отрицательным), следовательно, $2a_1 \ge 0$.
2. $n \ge 2$ (в турнире участвует как минимум 2 команды), следовательно, $n-1 > 0$.

Поскольку произведение $(n-1)(2-d)$ должно быть неотрицательным, а множитель $(n-1)$ — положительный, то множитель $(2-d)$ должен быть неотрицательным:

$2-d \ge 0 \implies d \le 2$

Ранее мы установили, что $d$ — это четное натуральное число, то есть $d \ge 2$. Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям ($d \le 2$ и $d \ge 2$), это $d=2$.

Теперь подставим значение $d=2$ обратно в уравнение для $a_1$:

$2a_1 = (n-1)(2-2)$

$2a_1 = (n-1) \cdot 0$

$2a_1 = 0$

$a_1 = 0$

Таким образом, команда, занявшая последнее место, набрала 0 очков, что соответствует 0 победам.

Ответ: 0