Номер 27.4, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.4, страница 261.

Условие.

27.4. Докажите, что если последовательность $ (x_n) $ — геометрическая про- грессия, то $ x_3x_{13} = x_5x_{11} $.

Решение.

Пусть ($x_n$) — геометрическая прогрессия с первым членом $x_1$ и знаменателем прогрессии $q$.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

$x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$

Используя эту формулу, выразим каждый из членов, входящих в доказываемое равенство $x_3 x_{13} = x_5 x_{11}$.

Для левой части равенства:

$x_3 = x_1 \cdot q^{3-1} = x_1 \cdot q^2$

$x_{13} = x_1 \cdot q^{13-1} = x_1 \cdot q^{12}$

Для правой части равенства:

$x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} = x_1 \cdot q^4$

$x_{11} = x_1 \cdot q^{11-1} = x_1 \cdot q^{10}$

Теперь преобразуем левую и правую части исходного равенства, подставив в них полученные выражения.

Левая часть:

$x_3 \cdot x_{13} = (x_1 \cdot q^2) \cdot (x_1 \cdot q^{12}) = x_1^2 \cdot q^{2+12} = x_1^2 \cdot q^{14}$

Правая часть:

$x_5 \cdot x_{11} = (x_1 \cdot q^4) \cdot (x_1 \cdot q^{10}) = x_1^2 \cdot q^{4+10} = x_1^2 \cdot q^{14}$

Так как левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению $x_1^2 \cdot q^{14}$, то они равны между собой. Таким образом, равенство $x_3 x_{13} = x_5 x_{11}$ доказано.

Это является частным случаем свойства членов геометрической прогрессии, равноудаленных от концов: произведение членов $x_m$ и $x_n$ равно произведению членов $x_p$ и $x_k$, если сумма их индексов одинакова, то есть $m+n = p+k$. В данном случае $3+13 = 16$ и $5+11 = 16$.

Ответ: Равенство доказано.