Номер 27.11, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.11, страница 262.

Условие.

27.11. Какие четыре числа надо вставить между числами 0,5 и 16, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Решение.

Пусть искомая геометрическая прогрессия обозначается как $b_n$. По условию задачи, нам даны два числа: 0,5 и 16. Между ними нужно вставить четыре других числа. Это означает, что число 0,5 будет первым членом прогрессии, а число 16 — последним. Общее количество членов в прогрессии составит $2$ (данные числа) $+ 4$ (вставляемые числа) $= 6$ членов.

Таким образом, мы имеем:

• Первый член прогрессии: $b_1 = 0,5$
• Шестой член прогрессии: $b_6 = 16$
• Количество членов: $n = 6$

Формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти знаменатель $q$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$

$16 = 0,5 \cdot q^5$

Выразим $q^5$:

$q^5 = \frac{16}{0,5}$

$q^5 = 32$

Чтобы найти $q$, извлечем корень пятой степени из 32:

$q = \sqrt[5]{32}$

$q = 2$

Теперь, зная знаменатель прогрессии $q=2$, мы можем найти четыре числа, которые нужно вставить. Это будут второй, третий, четвертый и пятый члены прогрессии.

• $b_2 = b_1 \cdot q = 0,5 \cdot 2 = 1$
• $b_3 = b_2 \cdot q = 1 \cdot 2 = 2$
• $b_4 = b_3 \cdot q = 2 \cdot 2 = 4$
• $b_5 = b_4 \cdot q = 4 \cdot 2 = 8$

Проверим, будет ли шестой член равен 16:

$b_6 = b_5 \cdot q = 8 \cdot 2 = 16$

Все верно. Таким образом, полученная геометрическая прогрессия: 0,5; 1; 2; 4; 8; 16.

Ответ: 1, 2, 4, 8.