Номер 27.14, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.14, страница 262.

Условие.

27.14. Последовательность $ (b_n) $ является геометрической прогрессией.

Найдите:

1) $b_5$, если $b_4=9$, $b_6=25$;

2) $b_{17}$, если $b_{16}=2$, $b_{18}=10$.

Решение.

1) Для нахождения члена геометрической прогрессии $b_5$, зная его соседние члены $b_4$ и $b_6$, можно использовать характеристическое свойство геометрической прогрессии. Оно гласит, что квадрат любого члена прогрессии (начиная со второго) равен произведению его соседних членов: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.
Применительно к нашему случаю, для $n=5$ формула выглядит так: $b_5^2 = b_4 \cdot b_6$.
Подставим известные значения $b_4 = 9$ и $b_6 = 25$: $b_5^2 = 9 \cdot 25 = 225$.
Чтобы найти $b_5$, извлечем квадратный корень из 225. Следует учесть, что корень может быть как положительным, так и отрицательным, поскольку знаменатель прогрессии также может быть положительным или отрицательным. $b_5 = \sqrt{225} = 15$ или $b_5 = -\sqrt{225} = -15$.
Ответ: $15$ или $-15$.

2) Задача аналогична предыдущей. Для нахождения $b_{17}$, зная $b_{16}$ и $b_{18}$, воспользуемся тем же свойством геометрической прогрессии: $b_{17}^2 = b_{16} \cdot b_{18}$.
Подставим заданные значения $b_{16} = 2$ и $b_{18} = 10$: $b_{17}^2 = 2 \cdot 10 = 20$.
Теперь найдем $b_{17}$, извлекая квадратный корень из 20. $b_{17} = \sqrt{20}$ или $b_{17} = -\sqrt{20}$.
Упростим значение корня: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Следовательно, получаем два возможных решения: $b_{17} = 2\sqrt{5}$ или $b_{17} = -2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$ или $-2\sqrt{5}$.