Номер 27.20, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.20, страница 262.

Условие.

27.20. В правильный треугольник со стороной $a$ последовательно вписаны треугольники так, что вершины каждого следующего треугольника являются серединами сторон предыдущего (рис. 27.1). Докажите, что периметры этих треугольников образуют геометрическую прогрессию, и запишите формулу $n$-го члена этой прогрессии.

Рис. 27.1

Рис. 27.1

Решение.

Доказательство того, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию

Пусть $T_1$ – исходный правильный треугольник со стороной $a_1 = a$. Его периметр $P_1 = 3a_1 = 3a$.

Второй треугольник, $T_2$, образован соединением середин сторон треугольника $T_1$. Каждая сторона треугольника $T_2$ является средней линией для треугольника $T_1$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Следовательно, все стороны треугольника $T_2$ равны между собой, и их длина $a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{a}{2}$. Значит, $T_2$ тоже является правильным треугольником. Его периметр равен $P_2 = 3a_2 = 3 \cdot \frac{a}{2} = \frac{1}{2}(3a) = \frac{1}{2}P_1$.

Рассмотрим в общем виде (n+1)-й треугольник $T_{n+1}$, вписанный в n-й треугольник $T_n$. Пусть сторона треугольника $T_n$ равна $a_n$, а его периметр $P_n = 3a_n$. Поскольку все треугольники в последовательности строятся одинаково, все они являются правильными.

Сторона треугольника $T_{n+1}$ является средней линией треугольника $T_n$, поэтому ее длина $a_{n+1} = \frac{a_n}{2}$.

Тогда периметр (n+1)-го треугольника равен $P_{n+1} = 3a_{n+1} = 3 \cdot \frac{a_n}{2} = \frac{1}{2}(3a_n) = \frac{1}{2}P_n$.

Мы получили, что для любого натурального $n$ отношение периметра следующего треугольника к предыдущему постоянно: $$ \frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{1}{2} $$ По определению, последовательность, в которой отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену постоянно, является геометрической прогрессией. Это постоянное отношение является знаменателем прогрессии.

Ответ: Последовательность периметров треугольников $(P_n)$ образует геометрическую прогрессию, так как периметр каждого следующего треугольника в 2 раза меньше периметра предыдущего, то есть знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$ является постоянной величиной.

Формула n-го члена этой прогрессии

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель.

Для нашей последовательности периметров $(P_n)$:

Первый член $P_1$ — это периметр исходного треугольника со стороной $a$, то есть $P_1 = 3a$.

Знаменатель прогрессии, как было доказано выше, $q = \frac{1}{2}$.

Подставляя эти значения в общую формулу, получаем формулу для n-го члена данной прогрессии: $$ P_n = P_1 \cdot q^{n-1} = 3a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

Ответ: $P_n = 3a \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.