Номер 27.15, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.15, страница 262.

Условие.

27.15. Последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией.

Найдите $b_{20}$, если $b_{19}=-3$, $b_{21}=-12$.

Решение.

По условию, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией. Нам известны девятнадцатый и двадцать первый члены прогрессии: $b_{19} = -3$ и $b_{21} = -12$. Требуется найти двадцатый член прогрессии $b_{20}$.

Для любой геометрической прогрессии справедливо характеристическое свойство: квадрат любого члена прогрессии, начиная со второго, равен произведению его соседних членов (предыдущего и последующего). Для искомого члена $b_{20}$ и его соседей $b_{19}$ и $b_{21}$ это свойство записывается в виде формулы:

$b_{20}^2 = b_{19} \cdot b_{21}$

Подставим известные значения $b_{19} = -3$ и $b_{21} = -12$ в эту формулу:

$b_{20}^2 = (-3) \cdot (-12)$

$b_{20}^2 = 36$

Из этого уравнения находим возможные значения для $b_{20}$, извлекая квадратный корень из обеих частей:

$b_{20} = \pm\sqrt{36}$

Таким образом, получаем два возможных решения:

$b_{20} = 6 \quad$ или $\quad b_{20} = -6$

Оба варианта возможны. Проверим их, найдя соответствующий знаменатель прогрессии $q$.

Случай 1: $b_{20} = 6$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{b_{20}}{b_{19}} = \frac{6}{-3} = -2$.
Проверим, выполняется ли условие для $b_{21}$: $b_{21} = b_{20} \cdot q = 6 \cdot (-2) = -12$. Это соответствует условию задачи.

Случай 2: $b_{20} = -6$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{b_{20}}{b_{19}} = \frac{-6}{-3} = 2$.
Проверим, выполняется ли условие для $b_{21}$: $b_{21} = b_{20} \cdot q = (-6) \cdot 2 = -12$. Это также соответствует условию задачи.

Следовательно, задача имеет два правильных ответа.

Ответ: -6; 6.