Номер 27.18, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.18, страница 262.

Условие.

27.18. Дана конечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, ..., b_n$. Докажите, что

$b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1 \cdot b_n, k \le n$.

Решение.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \dots, b_n$. Обозначим её первый член как $b_1$, а знаменатель как $q$.

Формула для $m$-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
$b_m = b_1 \cdot q^{m-1}$

Для доказательства равенства $b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1 \cdot b_n$ преобразуем его левую часть, используя указанную формулу.

Выразим член $b_k$:
$b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$

Выразим член $b_{n-k+1}$:
$b_{n-k+1} = b_1 \cdot q^{(n-k+1)-1} = b_1 \cdot q^{n-k}$

Теперь перемножим эти выражения:
$b_k \cdot b_{n-k+1} = (b_1 \cdot q^{k-1}) \cdot (b_1 \cdot q^{n-k})$
$b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1 \cdot b_1 \cdot q^{k-1} \cdot q^{n-k} = b_1^2 \cdot q^{(k-1) + (n-k)}$
Упростив показатель степени у $q$, получаем: $k - 1 + n - k = n - 1$.
Таким образом, левая часть равенства равна:
$b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1^2 \cdot q^{n-1}$

Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства: $b_1 \cdot b_n$.

Выразим член $b_n$ по той же формуле:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Тогда правая часть равна:
$b_1 \cdot b_n = b_1 \cdot (b_1 \cdot q^{n-1}) = b_1^2 \cdot q^{n-1}$

Мы получили, что левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению:
$b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1^2 \cdot q^{n-1}$
$b_1 \cdot b_n = b_1^2 \cdot q^{n-1}$
Следовательно, $b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1 \cdot b_n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.