Номер 27.23, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.23, страница 263.

Условие.

27.23. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрес- сии ($b_n$), если:

1) $b_5 = 3b_3$ и $b_6 - b_2 = 48$;

2) $b_5 - b_4 = 168$ и $b_3 + b_4 = -28$.

Решение.

1) Дана геометрическая прогрессия $b_n$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

По условию имеем систему уравнений:

$\begin{cases} b_5 = 3b_3 \\ b_6 - b_2 = 48 \end{cases}$

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 q$

$b_3 = b_1 q^2$

$b_5 = b_1 q^4$

$b_6 = b_1 q^5$

Подставим эти выражения в первое уравнение системы:

$b_1 q^4 = 3(b_1 q^2)$

Поскольку $b_6 - b_2 = 48 \neq 0$, то $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$. Также $b_3 = b_1 q^2 \neq 0$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $b_1 q^2$:

$q^2 = 3$

Отсюда получаем два возможных значения для знаменателя прогрессии:

$q_1 = \sqrt{3}$ и $q_2 = -\sqrt{3}$

Теперь подставим выражения для членов прогрессии во второе уравнение системы:

$b_1 q^5 - b_1 q = 48$

Вынесем $b_1 q$ за скобки:

$b_1 q(q^4 - 1) = 48$

Так как $q^2 = 3$, то $q^4 = (q^2)^2 = 3^2 = 9$. Подставим это значение в уравнение:

$b_1 q(9 - 1) = 48$

$8 b_1 q = 48$

$b_1 q = 6$

Теперь найдем $b_1$ для каждого из найденных значений $q$.

Случай 1: $q = \sqrt{3}$

$b_1 \sqrt{3} = 6 \implies b_1 = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

Случай 2: $q = -\sqrt{3}$

$b_1 (-\sqrt{3}) = 6 \implies b_1 = \frac{6}{-\sqrt{3}} = -\frac{6\sqrt{3}}{3} = -2\sqrt{3}$

Таким образом, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: $b_1 = 2\sqrt{3}, q = \sqrt{3}$ или $b_1 = -2\sqrt{3}, q = -\sqrt{3}$.

2) Дана геометрическая прогрессия $b_n$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

По условию имеем систему уравнений:

$\begin{cases} b_5 - b_4 = 168 \\ b_3 + b_4 = -28 \end{cases}$

Используя формулу $b_n = b_1 q^{n-1}$, выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_3 = b_1 q^2$

$b_4 = b_1 q^3$

$b_5 = b_1 q^4$

Подставим эти выражения в систему и вынесем общие множители за скобки:

$\begin{cases} b_1 q^4 - b_1 q^3 = 168 \\ b_1 q^2 + b_1 q^3 = -28 \end{cases} \implies \begin{cases} b_1 q^3(q - 1) = 168 \\ b_1 q^2(1 + q) = -28 \end{cases}$

Так как правые части уравнений не равны нулю, то $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$, $q \neq 1$, $q \neq -1$. Разделим первое уравнение системы на второе:

$\frac{b_1 q^3(q - 1)}{b_1 q^2(1 + q)} = \frac{168}{-28}$

Сократим дробь в левой части и вычислим значение в правой части:

$\frac{q(q - 1)}{1 + q} = -6$

Решим полученное уравнение относительно $q$:

$q(q - 1) = -6(1 + q)$

$q^2 - q = -6 - 6q$

$q^2 + 5q + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $q_1 + q_2 = -5$ и $q_1 \cdot q_2 = 6$. Корнями являются $q_1 = -2$ и $q_2 = -3$.

Теперь для каждого найденного значения $q$ найдем соответствующее значение $b_1$. Воспользуемся вторым уравнением системы: $b_1 q^2(1 + q) = -28$.

Случай 1: $q = -2$

$b_1 (-2)^2(1 + (-2)) = -28$

$b_1 \cdot 4 \cdot (-1) = -28$

$-4b_1 = -28 \implies b_1 = 7$

Случай 2: $q = -3$

$b_1 (-3)^2(1 + (-3)) = -28$

$b_1 \cdot 9 \cdot (-2) = -28$

$-18b_1 = -28 \implies b_1 = \frac{-28}{-18} = \frac{14}{9}$

Таким образом, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: $b_1 = 7, q = -2$ или $b_1 = \frac{14}{9}, q = -3$.